ESTADISTICA: AXIOMAS DE PROBABILIDAD

Los axiomas de probabilidad son las condiciones mínimas que deben verificarse para que una función definida sobre un conjunto de sucesos determine consistentemente sus probabilidades. Fueron formulados por Kolmogórov en 1933.

Axiomas de Kolmogórov

Dado un conjunto de sucesos elementales, Ω, sobre el que se ha definida una σ-álgebra (léase sigma-álgebra) σ de subconjuntos de Ω y una función P que asigna valores reales a los miembros de σ, a los que denominamos "sucesos", se dice que P es una probabilidad sobre (Ω,σ) si se cumplen los siguientes tres axiomas.

Primer axioma

La probabilidad de un suceso

A

es un número real mayor o igual que 0.

$P(A) \geq 0$

Segundo axioma

La probabilidad del total,

Ω

, es igual a 1, es decir,

$P(\Omega) = 1\!$

Tercer axioma

Si $A_1, A_2, \dots$ son sucesos mutuamente excluyentes (incompatibles dos a dos, disjuntos o de intersección vacía dos a dos), entonces:

$P(A_1 \cup A_2 \cup \cdots) = \sum P(A_i)$ .

Según este axioma se puede calcular la probabilidad de un suceso compuesto de varias alternativas mutuamente excluyentes sumando las probabilidades de sus componentes.
En términos más formales, una probabilidad es una medida sobre una σ-álgebra de subconjuntos del espacio muestral, siendo los subconjuntos miembros de la σ-álgebra los sucesos y definida de tal manera que la medida del total sea 1. Tal medida, gracias a su definición matemática, verifica igualmente los tres axiomas de Kolmogórov. A la terna formada por el espacio muestral, la σ-álgebra y la función de probabilidad se la denomina Espacio probabilístico, esto es, un "espacio de sucesos" (el espacio muestral) en el que se han definido los posibles sucesos a considerar (la σ-álgebra) y la probabilidad de cada suceso (la función de probabilidad).

Propiedades que se deducen de los axiomas

De los axiomas anteriores se deducen otras propiedades de la probabilidad:

$P(\varnothing)=0$ donde el conjunto vacío $(\varnothing)$ representa en probabilidad el suceso imposible
Para cualquier suceso $P(A) \leq 1$
$P(A^c)=1-P(A)\;\!$
Si $A \subseteq B$ entonces $P(A) \leq P(B)$
$P(A \cup B)= P(A) + P(B) - P(A \cap B)$

Ejemplos

Como ejemplo se puede tomar como espacio muestral a los posibles resultados al arrojar un dado corriente $\Omega = \left \{ 1, 2, 3, 4, 5, 6 \right \}$ , tomaremos como σ-álgebra todos los subconjuntos posibles de Ω (que en matemáticas se denota por $\mathcal {P}(\Omega)$ ) y como función de probabilidad
$P(A)= \frac {\# A} {6}$ donde $\# A$ representa el número de elementos del conjunto

A

.
Es fácil comprobar que esta función verifica los tres axiomas de Kolmogórov y, por tanto, consituye una probabilidad sobre este conjunto.

$P(A)= \frac {\# A} {6} \geq 0$ , puesto que es el cociente de dos números positivos
$P(\Omega)=P \left ( \left \{ 1, 2, 3, 4, 5, 6 \right \} \right )= \frac { \# \left \{ 1, 2, 3, 4, 5, 6 \right \} } {6} = \frac {6} {6} = 1$
Si $A= A_1 \cup A_2 \cup A_3 \cup \cdots$ de tal manera que $A_i \cap A_j = \varnothing \quad \forall i \ne j$ entonces