tag:blogger.com,1999:blog-30402592673876298092024-03-14T03:19:17.966-07:00ESTADISTICAEquipo de Derecho Mercantilhttp://www.blogger.com/profile/09944509771760487610noreply@blogger.comBlogger12125tag:blogger.com,1999:blog-3040259267387629809.post-19380247738001049482010-10-03T15:31:00.000-07:002010-10-03T15:31:28.397-07:00VIDEO TUTORIAL SOBRE DISTRIBUCION BINOMIAL(ej # 2)<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><iframe allowfullscreen='allowfullscreen' webkitallowfullscreen='webkitallowfullscreen' mozallowfullscreen='mozallowfullscreen' width='320' height='266' src='https://www.blogger.com/video.g?token=AD6v5dwpX1HHChleiqftV3Lvt7kH-QgD2LT-68LoRysZzzZWOXbkXUBKBOKMGGKZHAeK9wFvlKpnJIWfMNl9RoEW0Q' class='b-hbp-video b-uploaded' frameborder='0'></iframe></div>Equipo de Derecho Mercantilhttp://www.blogger.com/profile/09944509771760487610noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-3040259267387629809.post-39531613550570462272010-09-28T20:05:00.000-07:002010-09-28T20:15:39.813-07:00DIAGRAMA DE ARBOLUn diagrama de árbol es una representación gráfica de un experimento que consta de r pasos, donde cada uno de los pasos tiene un número finito de maneras de ser llevado a cabo.<br />
<br />
Ejemplo:<br />
<br />
Una universidad tiene de tres facultades:<br />
<dl><dd><ul><li>La 1ª con el 50% de estudiantes.</li>
<li>La 2ª con el 25% de estudiantes.</li>
<li>La 3ª con el 25% de estudiantes.</li>
</ul></dd></dl>Las mujeres están repartidas uniformemente, siendo un 60% del total en cada facultad.<br />
<a class="image" href="http://www.blogger.com/wiki/Archivo:DiagramasArbolImagenUno.jpg" title="Árbol con el planteamiento del problema."><img alt="Árbol con el planteamiento del problema." height="231" src="http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/b/bc/DiagramasArbolImagenUno.jpg/350px-DiagramasArbolImagenUno.jpg" width="350" /></a><br />
¿Probabilidad de encontrar una alumna de la primera facultad?<br />
<a class="image" href="http://www.blogger.com/wiki/Archivo:DiagramasArbolImagenDos.jpg" title="Árbol con la probabilidad de encontrar una mujer en la primera facultad."><img alt="Árbol con la probabilidad de encontrar una mujer en la primera facultad." height="178" src="http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/9/9e/DiagramasArbolImagenDos.jpg/350px-DiagramasArbolImagenDos.jpg" width="350" /></a><br />
<br />
<img alt="P(alumna \ de \ la \ 1^a \ facultad) = 0,5 \cdot 0,6 = 0,3" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/b/8/6/b86f3c28421778daf038a98f0ab335eb.png" /><br />
<br />
¿Probabilidad de encontrar un alumno varón?<br />
<a class="image" href="http://www.blogger.com/wiki/Archivo:DiagramasArbolImagenTres.jpg" title="Árbol con la probabilidad de encontrar un varón en la universidad."><img alt="Árbol con la probabilidad de encontrar un varón en la universidad." height="176" src="http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/a/a2/DiagramasArbolImagenTres.jpg/350px-DiagramasArbolImagenTres.jpg" width="350" /></a><br />
<br />
<img alt="P(alumno \ var\acute{o}n) = 0,5 \cdot 0,4 + 0,25 \cdot 0,4 + 0,25 \cdot 0,4= 0,4" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/6/f/e/6feacd424e739ee4aa35e42dae8e7125.png" />Equipo de Derecho Mercantilhttp://www.blogger.com/profile/09944509771760487610noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-3040259267387629809.post-10048834351940935582010-09-25T16:24:00.000-07:002010-09-25T16:35:32.029-07:00TAMAÑO MUESTRAL PARA UNA MUESTRA INFINITACon estos estudios pretendemos hacer inferencias a valores poblacionales (proporciones, medias) a partir de una muestra.<br />
<a class="marcador" href="" name="proporcion"></a><b>A.1. Estimar una proporción:</b><br />
Si deseamos estimar una proporción, debemos saber:<br />
<ol type="a"><li>El nivel de confianza o seguridad (1-<span style="font-family: Symbol;">a</span> ). El nivel de confianza prefijado da lugar a un coeficiente (Z<span style="font-family: Symbol;"><sub>a</sub></span> ). Para una seguridad del 95% = 1.96, para una seguridad del 99% = 2.58. </li>
<li>La precisión que deseamos para nuestro estudio. </li>
<li>Una idea del valor aproximado del parámetro que queremos medir (en este caso una proporción). Esta idea se puede obtener revisando la literatura, por estudio pilotos previos. En caso de no tener dicha información utilizaremos el valor p = 0.5 (50%). </li>
</ol>Ejemplo: ¿A cuantas personas tendríamos que estudiar para conocer la prevalencia de diabetes?<br />
Seguridad = 95%; Precisión = 3%: Proporción esperada = asumamos que puede ser próxima al 5%; si no tuviésemos ninguna idea de dicha proporción utilizaríamos el valor p = 0,5 (50%) que maximiza el tamaño muestral:<br />
<blockquote><blockquote></blockquote></blockquote><div align="center"><img height="44" src="http://www.fisterra.com/mbe/investiga/9muestras/images/Image40.gif" width="96" /></div><div align="left">donde:</div><ul style="list-style-image: url(../images/cuadrado.gif);"><li>Z<sub><span style="font-family: Symbol;">a</span> </sub><sup>2</sup> = 1.96<sup>2</sup> (ya que la seguridad es del 95%) </li>
<li>p = proporción esperada (en este caso 5% = 0.05) </li>
<li>q = 1 – p (en este caso 1 – 0.05 = 0.95) </li>
<li>d = precisión (en este caso deseamos un 3%) </li>
</ul><div align="center"><img height="44" src="http://www.fisterra.com/mbe/investiga/9muestras/images/Image41.gif" width="186" /></div><div align="left">Si la población es finita, es decir conocemos el total de la población y deseásemos saber cuántos del total tendremos que estudiar la respuesta seria:</div><div align="center"><img height="48" src="http://www.fisterra.com/mbe/investiga/9muestras/images/Image42.gif" width="184" /></div>donde:<br />
<ul style="list-style-image: url(../images/cuadrado.gif);"><li>N = Total de la población </li>
<li>Z<span style="font-family: Symbol;"><sub>a</sub></span><sup>2</sup> = 1.96<sup>2</sup> (si la seguridad es del 95%) </li>
<li>p = proporción esperada (en este caso 5% = 0.05) </li>
<li>q = 1 – p (en este caso 1-0.05 = 0.95) </li>
<li>d = precisión (en este caso deseamos un 3%). </li>
</ul>¿A cuántas personas tendría que estudiar de una población de 15.000 habitantes para conocer la prevalencia de diabetes?<br />
Seguridad = 95%; Precisión = 3%; proporción esperada = asumamos que puede ser próxima al 5% ; si no tuviese ninguna idea de dicha proporción utilizaríamos el valor p = 0.5 (50%) que maximiza el tamaño muestral.<br />
<div align="center"><img height="48" src="http://www.fisterra.com/mbe/investiga/9muestras/images/Image43.gif" width="310" /></div>Según diferentes seguridades el coeficiente de Z<span style="font-family: Symbol;"><sub>a</sub></span> varía, así:<br />
<ul style="list-style-image: url(../images/cuadrado.gif);"><li>Si la seguridad Z<span style="font-family: Symbol;"><sub>a</sub></span> fuese del 90% el coeficiente sería 1.645 </li>
<li>Si la seguridad Z<span style="font-family: Symbol;"><sub>a</sub></span> fuese del 95% el coeficiente sería 1.96 </li>
<li>Si la seguridad Z<span style="font-family: Symbol;"><sub>a</sub></span> fuese del 97.5% el coeficiente sería 2.24 </li>
<li>Si la seguridad Z<span style="font-family: Symbol;"><sub>a</sub></span> fuese del 99% el coeficiente sería 2.576 </li>
</ul><a class="marcador" href="" name="media"></a><b>A.2. Estimar una media:</b><br />
Si deseamos estimar una media: debemos saber:<br />
<ul style="list-style-image: url(../images/cuadrado.gif);"><li>El nivel de confianza o seguridad (1-<span style="font-family: Symbol;">a</span> ). El nivel de confianza prefijado da lugar a un coeficiente (Z<span style="font-family: Symbol;"><sub>a</sub></span> ). Para una seguridad del 95% = 1.96; para una seguridad del 99% = 2.58. </li>
<li>La precisión con que se desea estimar el parámetro (2 <sup><b>*</b></sup><b><sup> </sup></b>d es la amplitud del intervalo de confianza). </li>
<li>Una idea de la varianza S<sup>2</sup> de la distribución de la variable cuantitativa que se supone existe en la población. </li>
</ul><div align="center"><img height="44" src="http://www.fisterra.com/mbe/investiga/9muestras/images/Image44.gif" width="82" /></div>Ejemplo: Si deseamos conocer la media de la glucemia basal de una población, con una seguridad del 95 % y una precisión de <span style="font-family: Symbol;">±</span> 3 mg/dl y tenemos información por un estudio piloto o revisión bibliográfica que la varianza es de 250 mg/dl<br />
<div align="center"><img height="44" src="http://www.fisterra.com/mbe/investiga/9muestras/images/Image45.gif" width="153" /></div>Si la población es finita, como previamente se señaló, es decir conocemos el total de la población y desearíamos saber cuantos del total tendríamos que estudiar, la respuesta sería:<span style="font-size: medium;"><sup> </sup></span><br />
<div align="center"><img height="48" src="http://www.fisterra.com/mbe/investiga/9muestras/images/Image46.gif" width="168" /></div>Equipo de Derecho Mercantilhttp://www.blogger.com/profile/09944509771760487610noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-3040259267387629809.post-90465252946432569482010-09-25T15:15:00.000-07:002010-09-25T15:19:11.482-07:00AREA BAJO LA CURVA<h1 align="center">Distribución normal estándar</h1><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjFWM9GQivlzxHRTLD_kYbOhJ4Y1GsM6gs1uNOuoriIIYaYh3Vti_dLf0No9a_GAqafgea5lo9dzSDO18VcN9TR9LAo2D4AatItLDeIIFbowrJvR3lW_IcxCe4cd2WYjgyIBeSRYqk0bNY/s1600/standard-normal-distribution.gif" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" height="240" px="true" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjFWM9GQivlzxHRTLD_kYbOhJ4Y1GsM6gs1uNOuoriIIYaYh3Vti_dLf0No9a_GAqafgea5lo9dzSDO18VcN9TR9LAo2D4AatItLDeIIFbowrJvR3lW_IcxCe4cd2WYjgyIBeSRYqk0bNY/s320/standard-normal-distribution.gif" width="320" /></a></div><div align="center"><br />
<br />
Esta curva "de campana" es la distribución normal estándar.</div>Puedes usar la tabla de abajo para saber el área bajo la curva desde la línea central hasta cualquier línea vertical "a valor Z" hasta 3, en incrementos de 0.1<br />
Esto te dice qué parte de la población está dentro de "Z" desviaciones estándar de la media. <br />
En lugar de una tabla LARGA, hemos puesto los incrementos de 0.1 hacia abajo, y los de 0.01 de lado.<br />
Por ejemplo, para saber el área debajo de la curva entre 0 y 0.45, ve a la fila de 0.4, y sigue de lado hasta 0.45, allí pone 0.1736<br />
Como la curva es simétrica, la tabla vale para ir en las dos direcciones, así que 0.45 negativo también tiene un área de 0.1736<br />
<div class="MsoNormal" style="line-height: 12pt; tab-stops: 9.0pt 36.0pt 72.0pt; text-align: justify;"><br />
</div><div class="MsoNormal" style="line-height: 12pt; tab-stops: 9.0pt 36.0pt 72.0pt; text-align: justify;"><br />
</div><div class="MsoNormal" style="line-height: 12pt; tab-stops: 9.0pt 18.0pt 36.0pt 72.0pt; text-align: justify;"><span lang="ES-MX" style="font-size: 12pt; mso-bidi-font-size: 10.0pt;">AREAS BAJO LA CURVA NORMAL</span></div><div class="MsoNormal" style="line-height: 12pt; tab-stops: 9.0pt 18.0pt 36.0pt 72.0pt; text-align: justify;"><br />
</div><div class="MsoNormal" style="line-height: 12pt; tab-stops: 9.0pt 18.0pt 36.0pt 72.0pt; text-align: justify;"><span lang="ES-MX" style="font-size: 12pt; mso-bidi-font-size: 10.0pt;">No importa cuáles sean los valores de la <sub></sub><span style="mso-spacerun: yes;"> </span>para una distribución de probabilidad normal, el área total bajo la curva es 1.00, de manera que podemos pensar en áreas bajo la curva como si fueran probabilidades. Matemáticamente es verdad que:</span></div><div class="MsoNormal" style="line-height: 12pt; tab-stops: 9.0pt 18.0pt 36.0pt 72.0pt; text-align: justify;"><br />
</div><div class="MsoNormal" style="line-height: 12pt; margin-left: 18pt; mso-list: l7 level1 lfo5; tab-stops: 9.0pt list 18.0pt left 36.0pt 72.0pt; text-align: justify; text-indent: -18pt;"><span lang="ES-MX" style="font-size: 12pt; mso-bidi-font-size: 10.0pt;">1.</span><span lang="ES-MX" style="font-size: 12pt; mso-bidi-font-size: 10.0pt;">Aproximadamente 68% de todos los valores de una población normalmente distribuida se encuentra dentro<span style="mso-spacerun: yes;"> </span>de <sub><shape coordsize="21600,21600" fillcolor="winColor(17)" id="_x0000_i1031" o:ole="" style="height: 15.75pt; width: 15.75pt;" type="#_x0000_t75"><imagedata o:title="" src="./1.3_files/image013.wmz"></imagedata></shape></sub><span style="mso-spacerun: yes;"> </span>desviación estándar de la media.</span></div><div class="MsoNormal" style="line-height: 12pt; tab-stops: 9.0pt 36.0pt 72.0pt; text-align: justify;"><br />
</div><div class="MsoNormal" style="line-height: 12pt; margin-left: 18pt; mso-list: l7 level1 lfo5; tab-stops: 9.0pt list 18.0pt left 36.0pt 72.0pt; text-align: justify; text-indent: -18pt;"><span lang="ES-MX" style="font-size: 12pt; mso-bidi-font-size: 10.0pt;">2.</span><span lang="ES-MX" style="font-size: 12pt; mso-bidi-font-size: 10.0pt;"> Aproximadamente 95.5 % de todos los valores de una población normalmente distribuida se encuentra dentro de <sub><shape coordsize="21600,21600" fillcolor="winColor(17)" id="_x0000_i1032" o:ole="" style="height: 15.75pt; width: 18pt;" type="#_x0000_t75"><imagedata o:title="" src="./1.3_files/image015.wmz"></imagedata></shape></sub><span style="mso-spacerun: yes;"> </span>desviación estándar de la media.</span></div><div class="MsoNormal" style="line-height: 12pt; tab-stops: 9.0pt 36.0pt 72.0pt; text-align: justify;"><br />
</div><div class="MsoNormal" style="line-height: 12pt; margin-left: 18pt; mso-list: l7 level1 lfo5; tab-stops: 9.0pt list 18.0pt left 36.0pt 72.0pt; text-align: justify; text-indent: -18pt;"><span lang="ES-MX" style="font-size: 12pt; mso-bidi-font-size: 10.0pt;">3.</span><span lang="ES-MX" style="font-size: 12pt; mso-bidi-font-size: 10.0pt;"> Aproximadamente 99.7 % de todos los valores de una población normalmente distribuida se encuentra dentro<span style="mso-spacerun: yes;"> </span>de <sub><shape coordsize="21600,21600" fillcolor="winColor(17)" id="_x0000_i1033" o:ole="" style="height: 15.75pt; width: 17.25pt;" type="#_x0000_t75"><imagedata o:title="" src="./1.3_files/image017.wmz"></imagedata></shape></sub>desviación estándar de la media.</span></div><div class="MsoNormal" style="line-height: 12pt; tab-stops: 9.0pt 18.0pt 36.0pt 72.0pt; text-align: justify;"><br />
</div><div class="MsoNormal" style="line-height: 12pt; tab-stops: 9.0pt 18.0pt 36.0pt 72.0pt; text-align: justify;"><br />
</div><div class="MsoNormal" style="line-height: 12pt; tab-stops: 9.0pt 18.0pt 36.0pt 72.0pt; text-align: justify;"><span lang="ES-MX" style="font-size: 12pt; mso-bidi-font-size: 10.0pt;"> </span><span lang="ES-MX" style="font-size: 12pt; mso-bidi-font-size: 10.0pt;">USO DE LA TABLA DE DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD NORMAL ESTÁNDAR</span></div><div class="MsoNormal" style="text-align: justify;"><br />
</div><div class="MsoNormal" style="text-align: justify;"><span lang="ES-MX"> DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD NORMAL ESTÁNDAR</span><span lang="ES-MX">Áreas bajo la distribución de probabilidad Normal Estándar </span><span lang="ES-MX">entre la media y valores positivos de Z </span><span lang="ES-MX" style="font-family: Symbol; mso-ascii-font-family: "Times New Roman"; mso-char-type: symbol; mso-hansi-font-family: "Times New Roman"; mso-symbol-font-family: Symbol;"><span style="mso-char-type: symbol; mso-symbol-font-family: Symbol;">m</span></span><span lang="ES-MX"> </span><span lang="ES-MX" style="font-family: Symbol; mso-ascii-font-family: "Times New Roman"; mso-char-type: symbol; mso-hansi-font-family: "Times New Roman"; mso-symbol-font-family: Symbol;"><span style="mso-char-type: symbol; mso-symbol-font-family: Symbol;">=</span></span><span lang="ES-MX"> </span><span lang="ES-MX" style="font-family: Symbol; mso-ascii-font-family: "Times New Roman"; mso-char-type: symbol; mso-hansi-font-family: "Times New Roman"; mso-symbol-font-family: Symbol;"><span style="mso-char-type: symbol; mso-symbol-font-family: Symbol;">0</span></span><span lang="ES-MX"> y </span><span lang="ES-MX" style="font-family: Symbol; mso-ascii-font-family: "Times New Roman"; mso-char-type: symbol; mso-hansi-font-family: "Times New Roman"; mso-symbol-font-family: Symbol;"><span style="mso-char-type: symbol; mso-symbol-font-family: Symbol;">s</span></span><span lang="ES-MX">²=1</span><br />
<br />
</div><div align="center" class="MsoNormal" style="text-align: center;"><br />
<table align="center" border="0" cellpadding="3" cellspacing="2" style="width: 450px;"><tbody>
<tr><th bgcolor="#003366"><span class="Larger" style="color: white;">Z</span></th><th bgcolor="#ff99ff">0.00</th><th bgcolor="#ff99ff">0.01</th><th bgcolor="#ff99ff">0.02</th><th bgcolor="#ff99ff">0.03</th><th bgcolor="#ff99ff">0.04</th><th bgcolor="#ff99ff">0.05</th><th bgcolor="#ff99ff">0.06</th><th bgcolor="#ff99ff">0.07</th><th bgcolor="#ff99ff">0.08</th><th bgcolor="#ff99ff">0.09</th></tr>
<tr><th bgcolor="#ff99ff">0.0</th><td bgcolor="#ffccff">0.0000</td><td bgcolor="#ffccff">0.0040</td><td bgcolor="#ffccff">0.0080</td><td bgcolor="#ffccff">0.0120</td><td bgcolor="#ffccff">0.0160</td><td bgcolor="#ffccff">0.0199</td><td bgcolor="#ffccff">0.0239</td><td bgcolor="#ffccff">0.0279</td><td bgcolor="#ffccff">0.0319</td><td bgcolor="#ffccff">0.0359</td></tr>
<tr><th bgcolor="#ff99ff">0.1</th><td bgcolor="#ffccff">0.0398</td><td bgcolor="#ffccff">0.0438</td><td bgcolor="#ffccff">0.0478</td><td bgcolor="#ffccff">0.0517</td><td bgcolor="#ffccff">0.0557</td><td bgcolor="#ffccff">0.0596</td><td bgcolor="#ffccff">0.0636</td><td bgcolor="#ffccff">0.0675</td><td bgcolor="#ffccff">0.0714</td><td bgcolor="#ffccff">0.0753</td></tr>
<tr><th bgcolor="#ff99ff">0.2</th><td bgcolor="#ffccff">0.0793</td><td bgcolor="#ffccff">0.0832</td><td bgcolor="#ffccff">0.0871</td><td bgcolor="#ffccff">0.0910</td><td bgcolor="#ffccff">0.0948</td><td bgcolor="#ffccff">0.0987</td><td bgcolor="#ffccff">0.1026</td><td bgcolor="#ffccff">0.1064</td><td bgcolor="#ffccff">0.1103</td><td bgcolor="#ffccff">0.1141</td></tr>
<tr><th bgcolor="#ff99ff">0.3</th><td bgcolor="#ffccff">0.1179</td><td bgcolor="#ffccff">0.1217</td><td bgcolor="#ffccff">0.1255</td><td bgcolor="#ffccff">0.1293</td><td bgcolor="#ffccff">0.1331</td><td bgcolor="#ffccff">0.1368</td><td bgcolor="#ffccff">0.1406</td><td bgcolor="#ffccff">0.1443</td><td bgcolor="#ffccff">0.1480</td><td bgcolor="#ffccff">0.1517</td></tr>
<tr><th bgcolor="#ff99ff">0.4</th><td bgcolor="#ffccff">0.1554</td><td bgcolor="#ffccff">0.1591</td><td bgcolor="#ffccff">0.1628</td><td bgcolor="#ffccff">0.1664</td><td bgcolor="#ffccff">0.1700</td><td bgcolor="#ffccff">0.1736</td><td bgcolor="#ffccff">0.1772</td><td bgcolor="#ffccff">0.1808</td><td bgcolor="#ffccff">0.1844</td><td bgcolor="#ffccff">0.1879</td></tr>
<tr><th bgcolor="#ff99ff">0.5</th><td bgcolor="#ffccff">0.1915</td><td bgcolor="#ffccff">0.1950</td><td bgcolor="#ffccff">0.1985</td><td bgcolor="#ffccff">0.2019</td><td bgcolor="#ffccff">0.2054</td><td bgcolor="#ffccff">0.2088</td><td bgcolor="#ffccff">0.2123</td><td bgcolor="#ffccff">0.2157</td><td bgcolor="#ffccff">0.2190</td><td bgcolor="#ffccff">0.2224</td></tr>
<tr><th bgcolor="#ff99ff">0.6</th><td bgcolor="#ffccff">0.2257</td><td bgcolor="#ffccff">0.2291</td><td bgcolor="#ffccff">0.2324</td><td bgcolor="#ffccff">0.2357</td><td bgcolor="#ffccff">0.2389</td><td bgcolor="#ffccff">0.2422</td><td bgcolor="#ffccff">0.2454</td><td bgcolor="#ffccff">0.2486</td><td bgcolor="#ffccff">0.2517</td><td bgcolor="#ffccff">0.2549</td></tr>
<tr><th bgcolor="#ff99ff">0.7</th><td bgcolor="#ffccff">0.2580</td><td bgcolor="#ffccff">0.2611</td><td bgcolor="#ffccff">0.2642</td><td bgcolor="#ffccff">0.2673</td><td bgcolor="#ffccff">0.2704</td><td bgcolor="#ffccff">0.2734</td><td bgcolor="#ffccff">0.2764</td><td bgcolor="#ffccff">0.2794</td><td bgcolor="#ffccff">0.2823</td><td bgcolor="#ffccff">0.2852</td></tr>
<tr><th bgcolor="#ff99ff">0.8</th><td bgcolor="#ffccff">0.2881</td><td bgcolor="#ffccff">0.2910</td><td bgcolor="#ffccff">0.2939</td><td bgcolor="#ffccff">0.2967</td><td bgcolor="#ffccff">0.2995</td><td bgcolor="#ffccff">0.3023</td><td bgcolor="#ffccff">0.3051</td><td bgcolor="#ffccff">0.3078</td><td bgcolor="#ffccff">0.3106</td><td bgcolor="#ffccff">0.3133</td></tr>
<tr><th bgcolor="#ff99ff">0.9</th><td bgcolor="#ffccff">0.3159</td><td bgcolor="#ffccff">0.3186</td><td bgcolor="#ffccff">0.3212</td><td bgcolor="#ffccff">0.3238</td><td bgcolor="#ffccff">0.3264</td><td bgcolor="#ffccff">0.3289</td><td bgcolor="#ffccff">0.3315</td><td bgcolor="#ffccff">0.3340</td><td bgcolor="#ffccff">0.3365</td><td bgcolor="#ffccff">0.3389</td></tr>
<tr><th bgcolor="#ff99ff">1.0</th><td bgcolor="#ffccff">0.3413</td><td bgcolor="#ffccff">0.3438</td><td bgcolor="#ffccff">0.3461</td><td bgcolor="#ffccff">0.3485</td><td bgcolor="#ffccff">0.3508</td><td bgcolor="#ffccff">0.3531</td><td bgcolor="#ffccff">0.3554</td><td bgcolor="#ffccff">0.3577</td><td bgcolor="#ffccff">0.3599</td><td bgcolor="#ffccff">0.3621</td></tr>
<tr><th bgcolor="#ff99ff">1.1</th><td bgcolor="#ffccff">0.3643</td><td bgcolor="#ffccff">0.3665</td><td bgcolor="#ffccff">0.3686</td><td bgcolor="#ffccff">0.3708</td><td bgcolor="#ffccff">0.3729</td><td bgcolor="#ffccff">0.3749</td><td bgcolor="#ffccff">0.3770</td><td bgcolor="#ffccff">0.3790</td><td bgcolor="#ffccff">0.3810</td><td bgcolor="#ffccff">0.3830</td></tr>
<tr><th bgcolor="#ff99ff">1.2</th><td bgcolor="#ffccff">0.3849</td><td bgcolor="#ffccff">0.3869</td><td bgcolor="#ffccff">0.3888</td><td bgcolor="#ffccff">0.3907</td><td bgcolor="#ffccff">0.3925</td><td bgcolor="#ffccff">0.3944</td><td bgcolor="#ffccff">0.3962</td><td bgcolor="#ffccff">0.3980</td><td bgcolor="#ffccff">0.3997</td><td bgcolor="#ffccff">0.4015</td></tr>
<tr><th bgcolor="#ff99ff">1.3</th><td bgcolor="#ffccff">0.4032</td><td bgcolor="#ffccff">0.4049</td><td bgcolor="#ffccff">0.4066</td><td bgcolor="#ffccff">0.4082</td><td bgcolor="#ffccff">0.4099</td><td bgcolor="#ffccff">0.4115</td><td bgcolor="#ffccff">0.4131</td><td bgcolor="#ffccff">0.4147</td><td bgcolor="#ffccff">0.4162</td><td bgcolor="#ffccff">0.4177</td></tr>
<tr><th bgcolor="#ff99ff">1.4</th><td bgcolor="#ffccff">0.4192</td><td bgcolor="#ffccff">0.4207</td><td bgcolor="#ffccff">0.4222</td><td bgcolor="#ffccff">0.4236</td><td bgcolor="#ffccff">0.4251</td><td bgcolor="#ffccff">0.4265</td><td bgcolor="#ffccff">0.4279</td><td bgcolor="#ffccff">0.4292</td><td bgcolor="#ffccff">0.4306</td><td bgcolor="#ffccff">0.4319</td></tr>
<tr><th bgcolor="#ff99ff">1.5</th><td bgcolor="#ffccff">0.4332</td><td bgcolor="#ffccff">0.4345</td><td bgcolor="#ffccff">0.4357</td><td bgcolor="#ffccff">0.4370</td><td bgcolor="#ffccff">0.4382</td><td bgcolor="#ffccff">0.4394</td><td bgcolor="#ffccff">0.4406</td><td bgcolor="#ffccff">0.4418</td><td bgcolor="#ffccff">0.4429</td><td bgcolor="#ffccff">0.4441</td></tr>
<tr><th bgcolor="#ff99ff">1.6</th><td bgcolor="#ffccff">0.4452</td><td bgcolor="#ffccff">0.4463</td><td bgcolor="#ffccff">0.4474</td><td bgcolor="#ffccff">0.4484</td><td bgcolor="#ffccff">0.4495</td><td bgcolor="#ffccff">0.4505</td><td bgcolor="#ffccff">0.4515</td><td bgcolor="#ffccff">0.4525</td><td bgcolor="#ffccff">0.4535</td><td bgcolor="#ffccff">0.4545</td></tr>
<tr><th bgcolor="#ff99ff">1.7</th><td bgcolor="#ffccff">0.4554</td><td bgcolor="#ffccff">0.4564</td><td bgcolor="#ffccff">0.4573</td><td bgcolor="#ffccff">0.4582</td><td bgcolor="#ffccff">0.4591</td><td bgcolor="#ffccff">0.4599</td><td bgcolor="#ffccff">0.4608</td><td bgcolor="#ffccff">0.4616</td><td bgcolor="#ffccff">0.4625</td><td bgcolor="#ffccff">0.4633</td></tr>
<tr><th bgcolor="#ff99ff">1.8</th><td bgcolor="#ffccff">0.4641</td><td bgcolor="#ffccff">0.4649</td><td bgcolor="#ffccff">0.4656</td><td bgcolor="#ffccff">0.4664</td><td bgcolor="#ffccff">0.4671</td><td bgcolor="#ffccff">0.4678</td><td bgcolor="#ffccff">0.4686</td><td bgcolor="#ffccff">0.4693</td><td bgcolor="#ffccff">0.4699</td><td bgcolor="#ffccff">0.4706</td></tr>
<tr><th bgcolor="#ff99ff">1.9</th><td bgcolor="#ffccff">0.4713</td><td bgcolor="#ffccff">0.4719</td><td bgcolor="#ffccff">0.4726</td><td bgcolor="#ffccff">0.4732</td><td bgcolor="#ffccff">0.4738</td><td bgcolor="#ffccff">0.4744</td><td bgcolor="#ffccff">0.4750</td><td bgcolor="#ffccff">0.4756</td><td bgcolor="#ffccff">0.4761</td><td bgcolor="#ffccff">0.4767</td></tr>
<tr><th bgcolor="#ff99ff">2.0</th><td bgcolor="#ffccff">0.4772</td><td bgcolor="#ffccff">0.4778</td><td bgcolor="#ffccff">0.4783</td><td bgcolor="#ffccff">0.4788</td><td bgcolor="#ffccff">0.4793</td><td bgcolor="#ffccff">0.4798</td><td bgcolor="#ffccff">0.4803</td><td bgcolor="#ffccff">0.4808</td><td bgcolor="#ffccff">0.4812</td><td bgcolor="#ffccff">0.4817</td></tr>
<tr><th bgcolor="#ff99ff">2.1</th><td bgcolor="#ffccff">0.4821</td><td bgcolor="#ffccff">0.4826</td><td bgcolor="#ffccff">0.4830</td><td bgcolor="#ffccff">0.4834</td><td bgcolor="#ffccff">0.4838</td><td bgcolor="#ffccff">0.4842</td><td bgcolor="#ffccff">0.4846</td><td bgcolor="#ffccff">0.4850</td><td bgcolor="#ffccff">0.4854</td><td bgcolor="#ffccff">0.4857</td></tr>
<tr><th bgcolor="#ff99ff">2.2</th><td bgcolor="#ffccff">0.4861</td><td bgcolor="#ffccff">0.4864</td><td bgcolor="#ffccff">0.4868</td><td bgcolor="#ffccff">0.4871</td><td bgcolor="#ffccff">0.4875</td><td bgcolor="#ffccff">0.4878</td><td bgcolor="#ffccff">0.4881</td><td bgcolor="#ffccff">0.4884</td><td bgcolor="#ffccff">0.4887</td><td bgcolor="#ffccff">0.4890</td></tr>
<tr><th bgcolor="#ff99ff">2.3</th><td bgcolor="#ffccff">0.4893</td><td bgcolor="#ffccff">0.4896</td><td bgcolor="#ffccff">0.4898</td><td bgcolor="#ffccff">0.4901</td><td bgcolor="#ffccff">0.4904</td><td bgcolor="#ffccff">0.4906</td><td bgcolor="#ffccff">0.4909</td><td bgcolor="#ffccff">0.4911</td><td bgcolor="#ffccff">0.4913</td><td bgcolor="#ffccff">0.4916</td></tr>
<tr><th bgcolor="#ff99ff">2.4</th><td bgcolor="#ffccff">0.4918</td><td bgcolor="#ffccff">0.4920</td><td bgcolor="#ffccff">0.4922</td><td bgcolor="#ffccff">0.4925</td><td bgcolor="#ffccff">0.4927</td><td bgcolor="#ffccff">0.4929</td><td bgcolor="#ffccff">0.4931</td><td bgcolor="#ffccff">0.4932</td><td bgcolor="#ffccff">0.4934</td><td bgcolor="#ffccff">0.4936</td></tr>
<tr><th bgcolor="#ff99ff">2.5</th><td bgcolor="#ffccff">0.4938</td><td bgcolor="#ffccff">0.4940</td><td bgcolor="#ffccff">0.4941</td><td bgcolor="#ffccff">0.4943</td><td bgcolor="#ffccff">0.4945</td><td bgcolor="#ffccff">0.4946</td><td bgcolor="#ffccff">0.4948</td><td bgcolor="#ffccff">0.4949</td><td bgcolor="#ffccff">0.4951</td><td bgcolor="#ffccff">0.4952</td></tr>
<tr><th bgcolor="#ff99ff">2.6</th><td bgcolor="#ffccff">0.4953</td><td bgcolor="#ffccff">0.4955</td><td bgcolor="#ffccff">0.4956</td><td bgcolor="#ffccff">0.4957</td><td bgcolor="#ffccff">0.4959</td><td bgcolor="#ffccff">0.4960</td><td bgcolor="#ffccff">0.4961</td><td bgcolor="#ffccff">0.4962</td><td bgcolor="#ffccff">0.4963</td><td bgcolor="#ffccff">0.4964</td></tr>
<tr><th bgcolor="#ff99ff">2.7</th><td bgcolor="#ffccff">0.4965</td><td bgcolor="#ffccff">0.4966</td><td bgcolor="#ffccff">0.4967</td><td bgcolor="#ffccff">0.4968</td><td bgcolor="#ffccff">0.4969</td><td bgcolor="#ffccff">0.4970</td><td bgcolor="#ffccff">0.4971</td><td bgcolor="#ffccff">0.4972</td><td bgcolor="#ffccff">0.4973</td><td bgcolor="#ffccff">0.4974</td></tr>
<tr><th bgcolor="#ff99ff">2.8</th><td bgcolor="#ffccff">0.4974</td><td bgcolor="#ffccff">0.4975</td><td bgcolor="#ffccff">0.4976</td><td bgcolor="#ffccff">0.4977</td><td bgcolor="#ffccff">0.4977</td><td bgcolor="#ffccff">0.4978</td><td bgcolor="#ffccff">0.4979</td><td bgcolor="#ffccff">0.4979</td><td bgcolor="#ffccff">0.4980</td><td bgcolor="#ffccff">0.4981</td></tr>
<tr><th bgcolor="#ff99ff">2.9</th><td bgcolor="#ffccff">0.4981</td><td bgcolor="#ffccff">0.4982</td><td bgcolor="#ffccff">0.4982</td><td bgcolor="#ffccff">0.4983</td><td bgcolor="#ffccff">0.4984</td><td bgcolor="#ffccff">0.4984</td><td bgcolor="#ffccff">0.4985</td><td bgcolor="#ffccff">0.4985</td><td bgcolor="#ffccff">0.4986</td><td bgcolor="#ffccff">0.4986</td></tr>
<tr><th bgcolor="#ff99ff">3.0</th><td bgcolor="#ffccff">0.4987</td><td bgcolor="#ffccff">0.4987</td><td bgcolor="#ffccff">0.4987</td><td bgcolor="#ffccff">0.4988</td><td bgcolor="#ffccff">0.4988</td><td bgcolor="#ffccff">0.4989</td><td bgcolor="#ffccff">0.4989</td><td bgcolor="#ffccff">0.4989</td><td bgcolor="#ffccff">0.4990</td><td bgcolor="#ffccff">0.4990</td></tr>
</tbody></table><br />
</div><span lang="ES-MX" style="font-size: 12pt; mso-bidi-font-size: 10.0pt;">Observe en esta tabla la localización de la columna identificada con z. El valor de z está derivado de la formula:</span><br />
<div class="MsoNormal" style="text-align: justify;"><br />
</div><div class="MsoNormal" style="text-align: justify;"><span lang="ES-MX" style="font-size: 12pt; mso-bidi-font-size: 10.0pt;">X =<span style="mso-spacerun: yes;"> </span>valor de la variable aleatoria que nos preocupa</span></div><div class="MsoNormal" style="text-align: justify;"><span lang="ES-MX" style="font-size: 12pt; mso-bidi-font-size: 10.0pt;"><sub><shape coordsize="21600,21600" fillcolor="winColor(17)" id="_x0000_i1035" o:ole="" style="height: 12.75pt; width: 21.75pt;" type="#_x0000_t75"><imagedata o:title="" src="./1.3_files/image022.wmz"></imagedata></shape></sub>media de la distribución de la variable aleatoria</span></div><div class="MsoNormal" style="text-align: justify;"><span lang="ES-MX" style="font-size: 12pt; mso-bidi-font-size: 10.0pt;"><sub><shape coordsize="21600,21600" fillcolor="winColor(17)" id="_x0000_i1036" o:ole="" style="height: 11.25pt; width: 12pt;" type="#_x0000_t75"><imagedata o:title="" src="./1.3_files/image024.wmz"></imagedata></shape></sub>= desviación estándar de la distribución</span></div><div class="MsoNormal" style="text-align: justify;"><span lang="ES-MX" style="font-size: 12pt; mso-bidi-font-size: 10.0pt;"><span style="mso-spacerun: yes;"> </span>Z = número de desviaciones estándar que hay desde x a la media de la distribución</span></div><div class="MsoNormal" style="text-align: justify;"><br />
</div><div class="MsoNormal" style="text-align: justify;"><span lang="ES-MX" style="font-size: 12pt; mso-bidi-font-size: 10.0pt;">Utilizamos Z en lugar del ‘ número de desviaciones estándar’ porque las variables aleatorias normalmente distribuidas tienen muchas unidades diferentes de medición: dólares, pulgadas, partes por millón, kilogramos, segundos. Como vamos a utilizar una tabla, la tabla I, hablamos en términos de unidades estándar (que en realidad significa desviaciones estándar), y denotamos a éstas con el símbolo z.</span></div><div class="MsoNormal" style="text-align: justify;"><br />
</div><div class="MsoNormal" style="text-align: justify;"><span lang="ES-MX" style="font-size: 12pt; mso-bidi-font-size: 10.0pt;">X<span style="mso-spacerun: yes;"> </span><sub><shape coordsize="21600,21600" fillcolor="winColor(17)" id="_x0000_i1038" o:ole="" style="height: 15.75pt; width: 95.25pt;" type="#_x0000_t75"><imagedata o:title="" src="./1.3_files/image027.wmz"></imagedata></shape></sub></span></div><div class="MsoNormal" style="text-align: justify;"><span lang="ES-MX" style="font-size: 12pt; mso-bidi-font-size: 10.0pt;">-25<span style="mso-spacerun: yes;"> </span>0<span style="mso-spacerun: yes;"> </span>25<span style="mso-spacerun: yes;"> </span>50<span style="mso-spacerun: yes;"> </span>75<span style="mso-spacerun: yes;"> </span>100<span style="mso-spacerun: yes;"> </span>125</span></div><div class="MsoNormal" style="text-align: justify;"><span lang="ES-MX" style="font-size: 12pt; mso-bidi-font-size: 10.0pt;">----------------------------------------- Z =<sub><shape coordsize="21600,21600" fillcolor="winColor(17)" id="_x0000_i1039" o:ole="" style="height: 30.75pt; width: 33pt;" type="#_x0000_t75"> <imagedata o:title="" src="./1.3_files/image029.wmz"></imagedata></shape></sub><span style="mso-spacerun: yes;"> </span></span></div><div class="MsoNormal" style="text-align: justify;"><span lang="ES-MX" style="font-size: 12pt; mso-bidi-font-size: 10.0pt;">-3<span style="mso-spacerun: yes;"> </span>-2<span style="mso-spacerun: yes;"> </span>-1<span style="mso-spacerun: yes;"> </span><span style="mso-spacerun: yes;"> </span>0<span style="mso-spacerun: yes;"> </span>1<span style="mso-spacerun: yes;"> </span>2<span style="mso-spacerun: yes;"> </span>3</span></div><div class="MsoNormal" style="text-align: justify;"><br />
</div><div class="MsoNormal" style="text-align: justify;"><br />
</div><div class="MsoNormal" style="text-align: justify;"><span lang="ES-MX" style="font-size: 12pt; mso-bidi-font-size: 10.0pt;">La tabla representa las probabilidades o áreas bajo la curva normal calculadas desde la <sub><shape coordsize="21600,21600" fillcolor="winColor(17)" id="_x0000_i1040" o:ole="" style="height: 18pt; width: 15.75pt;" type="#_x0000_t75"><imagedata o:title="" src="./1.3_files/image031.wmz"></imagedata></shape></sub><span style="mso-spacerun: yes;"> </span>hasta los valores particulares de interés X. Usando la ecuación de Z, esto corresponde a las probabilidades o áreas bajo la curva normal estandarizada desde la media (<sub><shape coordsize="21600,21600" fillcolor="winColor(17)" id="_x0000_i1041" o:ole="" style="height: 17.25pt; width: 15pt;" type="#_x0000_t75"> <imagedata o:title="" src="./1.3_files/image033.wmz"></imagedata></shape></sub>= 0) hasta los valores transformados de interés Z.</span></div><div class="MsoNormal" style="text-align: justify;"><span lang="ES-MX" style="font-size: 12pt; mso-bidi-font-size: 10.0pt;">Sólo se enumeran entradas positivas de Z en la tabla , puesto que para una distribución simétrica<span style="mso-spacerun: yes;"> </span>de este tipo con una media de cero, el área que va desde la media hasta +Z (es decir, Z desviaciones estándar por encima de la media) debe ser idéntica al área que va desde la media hasta –Z (es decir, Z desviaciones estándar por debajo de la media). </span></div><div class="MsoNormal" style="text-align: justify;"><span lang="ES-MX" style="font-size: 12pt; mso-bidi-font-size: 10.0pt;">También podemos<span style="mso-spacerun: yes;"> </span>encontrar la tabla que indica el área bajo la curva normal estándar que corresponde a P(Z < z) para valores de z que van de –3.49 a 3.49. </span></div><div class="MsoNormal" style="text-align: justify;"><span lang="ES-MX" style="font-size: 12pt; mso-bidi-font-size: 10.0pt;">Al usar la tabla observamos que todos los valores Z deben registrarse con hasta dos lugares decimales. Por tanto, nuestro valor de interés particular Z se registra como +.2. para leer el área de probabilidad bajo la curva desde la media hasta Z = +.20, podemos recorrer hacia abajo la columna Z de la tabla hasta que ubiquemos el valor de interés Z. Así pues, nos detenemos en la fila Z = .2. A continuación, leemos esta fila hasta que intersecamos la columna que contiene el lugar de centésimas del valor Z. Por lo tanto, en la tabla, la probabilidad tabulada para Z = 0.20 corresponde a la intersección de la fila Z = .2 con la columna Z = .00 como se muestra. </span></div><div class="MsoNormal" style="text-align: justify;"><br />
</div><br />
<table border="0" cellpadding="0" cellspacing="0" style="border-collapse: collapse; mso-padding-alt: 0cm 1.5pt 0cm 1.5pt;"><tbody>
<tr style="height: 2pt;"><td style="border-bottom: windowtext 0.75pt solid; border-left: windowtext 0.75pt solid; border-right: windowtext 0.75pt solid; border-top: windowtext 0.75pt solid; height: 2pt; padding-bottom: 0cm; padding-left: 1.5pt; padding-right: 1.5pt; padding-top: 0cm; width: 43pt;" valign="top" width="57"><div align="center" class="MsoNormal" style="text-align: center;"><b style="mso-bidi-font-weight: normal;"><span lang="ES" style="color: black; font-size: 8pt; layout-grid-mode: line; mso-ansi-language: ES; mso-bidi-font-size: 10.0pt; mso-fareast-language: ES;">Z</span></b></div></td><td style="border-bottom: windowtext 0.75pt solid; border-left: medium none; border-right: windowtext 0.75pt solid; border-top: windowtext 0.75pt solid; height: 2pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .75pt; padding-bottom: 0cm; padding-left: 1.5pt; padding-right: 1.5pt; padding-top: 0cm; width: 43pt;" valign="top" width="57"><div align="center" class="MsoNormal" style="text-align: center;"><b style="mso-bidi-font-weight: normal;"><i style="mso-bidi-font-style: normal;"><span lang="ES" style="color: blue; font-size: 8pt; layout-grid-mode: line; mso-ansi-language: ES; mso-bidi-font-size: 10.0pt; mso-fareast-language: ES;">.00</span></i></b></div></td><td style="border-bottom: windowtext 0.75pt solid; border-left: medium none; border-right: windowtext 0.75pt solid; border-top: windowtext 0.75pt solid; height: 2pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .75pt; padding-bottom: 0cm; padding-left: 1.5pt; padding-right: 1.5pt; padding-top: 0cm; width: 43pt;" valign="top" width="57"><div align="center" class="MsoNormal" style="text-align: center;"><b style="mso-bidi-font-weight: normal;"><i style="mso-bidi-font-style: normal;"><span lang="ES" style="color: black; font-size: 8pt; layout-grid-mode: line; mso-ansi-language: ES; mso-bidi-font-size: 10.0pt; mso-fareast-language: ES;">.01</span></i></b></div></td><td style="border-bottom: windowtext 0.75pt solid; border-left: medium none; border-right: windowtext 0.75pt solid; border-top: windowtext 0.75pt solid; height: 2pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .75pt; padding-bottom: 0cm; padding-left: 1.5pt; padding-right: 1.5pt; padding-top: 0cm; width: 43pt;" valign="top" width="57"><div align="center" class="MsoNormal" style="text-align: center;"><b style="mso-bidi-font-weight: normal;"><i style="mso-bidi-font-style: normal;"><span lang="ES" style="color: black; font-size: 8pt; layout-grid-mode: line; mso-ansi-language: ES; mso-bidi-font-size: 10.0pt; mso-fareast-language: ES;">.02</span></i></b></div></td><td style="border-bottom: windowtext 0.75pt solid; border-left: medium none; border-right: windowtext 0.75pt solid; border-top: windowtext 0.75pt solid; height: 2pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .75pt; padding-bottom: 0cm; padding-left: 1.5pt; padding-right: 1.5pt; padding-top: 0cm; width: 43pt;" valign="top" width="57"><div align="center" class="MsoNormal" style="text-align: center;"><b style="mso-bidi-font-weight: normal;"><i style="mso-bidi-font-style: normal;"><span lang="ES" style="color: black; font-size: 8pt; layout-grid-mode: line; mso-ansi-language: ES; mso-bidi-font-size: 10.0pt; mso-fareast-language: ES;">.03</span></i></b></div></td><td style="border-bottom: windowtext 0.75pt solid; border-left: medium none; border-right: windowtext 0.75pt solid; border-top: windowtext 0.75pt solid; height: 2pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .75pt; padding-bottom: 0cm; padding-left: 1.5pt; padding-right: 1.5pt; padding-top: 0cm; width: 43pt;" valign="top" width="57"><div align="center" class="MsoNormal" style="text-align: center;"><b style="mso-bidi-font-weight: normal;"><i style="mso-bidi-font-style: normal;"><span lang="ES" style="color: black; font-size: 8pt; layout-grid-mode: line; mso-ansi-language: ES; mso-bidi-font-size: 10.0pt; mso-fareast-language: ES;">.04</span></i></b></div></td><td style="border-bottom: windowtext 0.75pt solid; border-left: medium none; border-right: windowtext 0.75pt solid; border-top: windowtext 0.75pt solid; height: 2pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .75pt; padding-bottom: 0cm; padding-left: 1.5pt; padding-right: 1.5pt; padding-top: 0cm; width: 43pt;" valign="top" width="57"><div align="center" class="MsoNormal" style="text-align: center;"><b style="mso-bidi-font-weight: normal;"><i style="mso-bidi-font-style: normal;"><span lang="ES" style="color: black; font-size: 8pt; layout-grid-mode: line; mso-ansi-language: ES; mso-bidi-font-size: 10.0pt; mso-fareast-language: ES;">.05</span></i></b></div></td><td style="border-bottom: windowtext 0.75pt solid; border-left: medium none; border-right: windowtext 0.75pt solid; border-top: windowtext 0.75pt solid; height: 2pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .75pt; padding-bottom: 0cm; padding-left: 1.5pt; padding-right: 1.5pt; padding-top: 0cm; width: 43pt;" valign="top" width="57"><div align="center" class="MsoNormal" style="text-align: center;"><b style="mso-bidi-font-weight: normal;"><i style="mso-bidi-font-style: normal;"><span lang="ES" style="color: black; font-size: 8pt; layout-grid-mode: line; mso-ansi-language: ES; mso-bidi-font-size: 10.0pt; mso-fareast-language: ES;">.06</span></i></b></div></td><td style="border-bottom: windowtext 0.75pt solid; border-left: medium none; border-right: windowtext 0.75pt solid; border-top: windowtext 0.75pt solid; height: 2pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .75pt; padding-bottom: 0cm; padding-left: 1.5pt; padding-right: 1.5pt; padding-top: 0cm; width: 43pt;" valign="top" width="57"><div align="center" class="MsoNormal" style="text-align: center;"><b style="mso-bidi-font-weight: normal;"><i style="mso-bidi-font-style: normal;"><span lang="ES" style="color: black; font-size: 8pt; layout-grid-mode: line; mso-ansi-language: ES; mso-bidi-font-size: 10.0pt; mso-fareast-language: ES;">.07</span></i></b></div></td><td style="border-bottom: windowtext 0.75pt solid; border-left: medium none; border-right: windowtext 0.75pt solid; border-top: windowtext 0.75pt solid; height: 2pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .75pt; padding-bottom: 0cm; padding-left: 1.5pt; padding-right: 1.5pt; padding-top: 0cm; width: 43pt;" valign="top" width="57"><div align="center" class="MsoNormal" style="text-align: center;"><b style="mso-bidi-font-weight: normal;"><i style="mso-bidi-font-style: normal;"><span lang="ES" style="color: black; font-size: 8pt; layout-grid-mode: line; mso-ansi-language: ES; mso-bidi-font-size: 10.0pt; mso-fareast-language: ES;">.08</span></i></b></div></td><td style="border-bottom: windowtext 0.75pt solid; border-left: medium none; border-right: windowtext 0.75pt solid; border-top: windowtext 0.75pt solid; height: 2pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .75pt; padding-bottom: 0cm; padding-left: 1.5pt; padding-right: 1.5pt; padding-top: 0cm; width: 43pt;" valign="top" width="57"><div align="center" class="MsoNormal" style="text-align: center;"><b style="mso-bidi-font-weight: normal;"><i style="mso-bidi-font-style: normal;"><span lang="ES" style="color: black; font-size: 8pt; layout-grid-mode: line; mso-ansi-language: ES; mso-bidi-font-size: 10.0pt; mso-fareast-language: ES;">.09</span></i></b></div></td></tr>
<tr style="height: 2pt;"><td style="border-bottom: windowtext 0.75pt solid; border-left: windowtext 0.75pt solid; border-right: windowtext 0.75pt solid; border-top: medium none; height: 2pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .75pt; padding-bottom: 0cm; padding-left: 1.5pt; padding-right: 1.5pt; padding-top: 0cm; width: 43pt;" valign="top" width="57"><div align="right" class="MsoNormal" style="text-align: right;"><b style="mso-bidi-font-weight: normal;"><i style="mso-bidi-font-style: normal;"><span lang="ES" style="color: black; font-size: 8pt; layout-grid-mode: line; mso-ansi-language: ES; mso-bidi-font-size: 10.0pt; mso-fareast-language: ES;">0.0</span></i></b></div></td><td style="border-bottom: windowtext 0.75pt solid; border-left: medium none; border-right: windowtext 0.75pt solid; border-top: medium none; height: 2pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .75pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .75pt; padding-bottom: 0cm; padding-left: 1.5pt; padding-right: 1.5pt; padding-top: 0cm; width: 43pt;" valign="top" width="57"><div align="right" class="MsoNormal" style="text-align: right;"><span lang="ES" style="color: black; font-size: 8pt; layout-grid-mode: line; mso-ansi-language: ES; mso-bidi-font-size: 10.0pt; mso-fareast-language: ES;">0.00000</span></div></td><td style="border-bottom: windowtext 0.75pt solid; border-left: medium none; border-right: windowtext 0.75pt solid; border-top: medium none; height: 2pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .75pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .75pt; padding-bottom: 0cm; padding-left: 1.5pt; padding-right: 1.5pt; padding-top: 0cm; width: 43pt;" valign="top" width="57"><div align="right" class="MsoNormal" style="text-align: right;"><span lang="ES" style="color: black; font-size: 8pt; layout-grid-mode: line; mso-ansi-language: ES; mso-bidi-font-size: 10.0pt; mso-fareast-language: ES;">0.00399</span></div></td><td style="border-bottom: windowtext 0.75pt solid; border-left: medium none; border-right: windowtext 0.75pt solid; border-top: medium none; height: 2pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .75pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .75pt; padding-bottom: 0cm; padding-left: 1.5pt; padding-right: 1.5pt; padding-top: 0cm; width: 43pt;" valign="top" width="57"><div align="right" class="MsoNormal" style="text-align: right;"><span lang="ES" style="color: black; font-size: 8pt; layout-grid-mode: line; mso-ansi-language: ES; mso-bidi-font-size: 10.0pt; mso-fareast-language: ES;">0.00798</span></div></td><td style="border-bottom: windowtext 0.75pt solid; border-left: medium none; border-right: windowtext 0.75pt solid; border-top: medium none; height: 2pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .75pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .75pt; padding-bottom: 0cm; padding-left: 1.5pt; padding-right: 1.5pt; padding-top: 0cm; width: 43pt;" valign="top" width="57"><div align="right" class="MsoNormal" style="text-align: right;"><span lang="ES" style="color: black; font-size: 8pt; layout-grid-mode: line; mso-ansi-language: ES; mso-bidi-font-size: 10.0pt; mso-fareast-language: ES;">0.01197</span></div></td><td style="border-bottom: windowtext 0.75pt solid; border-left: medium none; border-right: windowtext 0.75pt solid; border-top: medium none; height: 2pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .75pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .75pt; padding-bottom: 0cm; padding-left: 1.5pt; padding-right: 1.5pt; padding-top: 0cm; width: 43pt;" valign="top" width="57"><div align="right" class="MsoNormal" style="text-align: right;"><span lang="ES" style="color: black; font-size: 8pt; layout-grid-mode: line; mso-ansi-language: ES; mso-bidi-font-size: 10.0pt; mso-fareast-language: ES;">0.01595</span></div></td><td style="border-bottom: windowtext 0.75pt solid; border-left: medium none; border-right: windowtext 0.75pt solid; border-top: medium none; height: 2pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .75pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .75pt; padding-bottom: 0cm; padding-left: 1.5pt; padding-right: 1.5pt; padding-top: 0cm; width: 43pt;" valign="top" width="57"><div align="right" class="MsoNormal" style="text-align: right;"><span lang="ES" style="color: black; font-size: 8pt; layout-grid-mode: line; mso-ansi-language: ES; mso-bidi-font-size: 10.0pt; mso-fareast-language: ES;">0.01994</span></div></td><td style="border-bottom: windowtext 0.75pt solid; border-left: medium none; border-right: windowtext 0.75pt solid; border-top: medium none; height: 2pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .75pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .75pt; padding-bottom: 0cm; padding-left: 1.5pt; padding-right: 1.5pt; padding-top: 0cm; width: 43pt;" valign="top" width="57"><div align="right" class="MsoNormal" style="text-align: right;"><span lang="ES" style="color: black; font-size: 8pt; layout-grid-mode: line; mso-ansi-language: ES; mso-bidi-font-size: 10.0pt; mso-fareast-language: ES;">0.02392</span></div></td><td style="border-bottom: windowtext 0.75pt solid; border-left: medium none; border-right: windowtext 0.75pt solid; border-top: medium none; height: 2pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .75pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .75pt; padding-bottom: 0cm; padding-left: 1.5pt; padding-right: 1.5pt; padding-top: 0cm; width: 43pt;" valign="top" width="57"><div align="right" class="MsoNormal" style="text-align: right;"><span lang="ES" style="color: black; font-size: 8pt; layout-grid-mode: line; mso-ansi-language: ES; mso-bidi-font-size: 10.0pt; mso-fareast-language: ES;">0.02790</span></div></td><td style="border-bottom: windowtext 0.75pt solid; border-left: medium none; border-right: windowtext 0.75pt solid; border-top: medium none; height: 2pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .75pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .75pt; padding-bottom: 0cm; padding-left: 1.5pt; padding-right: 1.5pt; padding-top: 0cm; width: 43pt;" valign="top" width="57"><div align="right" class="MsoNormal" style="text-align: right;"><span lang="ES" style="color: black; font-size: 8pt; layout-grid-mode: line; mso-ansi-language: ES; mso-bidi-font-size: 10.0pt; mso-fareast-language: ES;">0.03188</span></div></td><td style="border-bottom: windowtext 0.75pt solid; border-left: medium none; border-right: windowtext 0.75pt solid; border-top: medium none; height: 2pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .75pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .75pt; padding-bottom: 0cm; padding-left: 1.5pt; padding-right: 1.5pt; padding-top: 0cm; width: 43pt;" valign="top" width="57"><div align="right" class="MsoNormal" style="text-align: right;"><span lang="ES" style="color: black; font-size: 8pt; layout-grid-mode: line; mso-ansi-language: ES; mso-bidi-font-size: 10.0pt; mso-fareast-language: ES;">0.03586</span></div></td></tr>
<tr style="height: 2pt;"><td style="border-bottom: windowtext 0.75pt solid; border-left: windowtext 0.75pt solid; border-right: windowtext 0.75pt solid; border-top: medium none; height: 2pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .75pt; padding-bottom: 0cm; padding-left: 1.5pt; padding-right: 1.5pt; padding-top: 0cm; width: 43pt;" valign="top" width="57"><div align="right" class="MsoNormal" style="text-align: right;"><b style="mso-bidi-font-weight: normal;"><i style="mso-bidi-font-style: normal;"><span lang="ES" style="color: black; font-size: 8pt; layout-grid-mode: line; mso-ansi-language: ES; mso-bidi-font-size: 10.0pt; mso-fareast-language: ES;">0.1</span></i></b></div></td><td style="border-bottom: windowtext 0.75pt solid; border-left: medium none; border-right: windowtext 0.75pt solid; border-top: medium none; height: 2pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .75pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .75pt; padding-bottom: 0cm; padding-left: 1.5pt; padding-right: 1.5pt; padding-top: 0cm; width: 43pt;" valign="top" width="57"><div align="right" class="MsoNormal" style="text-align: right;"><span lang="ES" style="color: black; font-size: 8pt; layout-grid-mode: line; mso-ansi-language: ES; mso-bidi-font-size: 10.0pt; mso-fareast-language: ES;">0.03983</span></div></td><td style="border-bottom: windowtext 0.75pt solid; border-left: medium none; border-right: windowtext 0.75pt solid; border-top: medium none; height: 2pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .75pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .75pt; padding-bottom: 0cm; padding-left: 1.5pt; padding-right: 1.5pt; padding-top: 0cm; width: 43pt;" valign="top" width="57"><div align="right" class="MsoNormal" style="text-align: right;"><span lang="ES" style="color: black; font-size: 8pt; layout-grid-mode: line; mso-ansi-language: ES; mso-bidi-font-size: 10.0pt; mso-fareast-language: ES;">0.04380</span></div></td><td style="border-bottom: windowtext 0.75pt solid; border-left: medium none; border-right: windowtext 0.75pt solid; border-top: medium none; height: 2pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .75pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .75pt; padding-bottom: 0cm; padding-left: 1.5pt; padding-right: 1.5pt; padding-top: 0cm; width: 43pt;" valign="top" width="57"><div align="right" class="MsoNormal" style="text-align: right;"><span lang="ES" style="color: black; font-size: 8pt; layout-grid-mode: line; mso-ansi-language: ES; mso-bidi-font-size: 10.0pt; mso-fareast-language: ES;">0.04776</span></div></td><td style="border-bottom: windowtext 0.75pt solid; border-left: medium none; border-right: windowtext 0.75pt solid; border-top: medium none; height: 2pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .75pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .75pt; padding-bottom: 0cm; padding-left: 1.5pt; padding-right: 1.5pt; padding-top: 0cm; width: 43pt;" valign="top" width="57"><div align="right" class="MsoNormal" style="text-align: right;"><span lang="ES" style="color: black; font-size: 8pt; layout-grid-mode: line; mso-ansi-language: ES; mso-bidi-font-size: 10.0pt; mso-fareast-language: ES;">0.05172</span></div></td><td style="border-bottom: windowtext 0.75pt solid; border-left: medium none; border-right: windowtext 0.75pt solid; border-top: medium none; height: 2pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .75pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .75pt; padding-bottom: 0cm; padding-left: 1.5pt; padding-right: 1.5pt; padding-top: 0cm; width: 43pt;" valign="top" width="57"><div align="right" class="MsoNormal" style="text-align: right;"><span lang="ES" style="color: black; font-size: 8pt; layout-grid-mode: line; mso-ansi-language: ES; mso-bidi-font-size: 10.0pt; mso-fareast-language: ES;">0.05567</span></div></td><td style="border-bottom: windowtext 0.75pt solid; border-left: medium none; border-right: windowtext 0.75pt solid; border-top: medium none; height: 2pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .75pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .75pt; padding-bottom: 0cm; padding-left: 1.5pt; padding-right: 1.5pt; padding-top: 0cm; width: 43pt;" valign="top" width="57"><div align="right" class="MsoNormal" style="text-align: right;"><span lang="ES" style="color: black; font-size: 8pt; layout-grid-mode: line; mso-ansi-language: ES; mso-bidi-font-size: 10.0pt; mso-fareast-language: ES;">0.05962</span></div></td><td style="border-bottom: windowtext 0.75pt solid; border-left: medium none; border-right: windowtext 0.75pt solid; border-top: medium none; height: 2pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .75pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .75pt; padding-bottom: 0cm; padding-left: 1.5pt; padding-right: 1.5pt; padding-top: 0cm; width: 43pt;" valign="top" width="57"><div align="right" class="MsoNormal" style="text-align: right;"><span lang="ES" style="color: black; font-size: 8pt; layout-grid-mode: line; mso-ansi-language: ES; mso-bidi-font-size: 10.0pt; mso-fareast-language: ES;">0.06356</span></div></td><td style="border-bottom: windowtext 0.75pt solid; border-left: medium none; border-right: windowtext 0.75pt solid; border-top: medium none; height: 2pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .75pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .75pt; padding-bottom: 0cm; padding-left: 1.5pt; padding-right: 1.5pt; padding-top: 0cm; width: 43pt;" valign="top" width="57"><div align="right" class="MsoNormal" style="text-align: right;"><span lang="ES" style="color: black; font-size: 8pt; layout-grid-mode: line; mso-ansi-language: ES; mso-bidi-font-size: 10.0pt; mso-fareast-language: ES;">0.06749</span></div></td><td style="border-bottom: windowtext 0.75pt solid; border-left: medium none; border-right: windowtext 0.75pt solid; border-top: medium none; height: 2pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .75pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .75pt; padding-bottom: 0cm; padding-left: 1.5pt; padding-right: 1.5pt; padding-top: 0cm; width: 43pt;" valign="top" width="57"><div align="right" class="MsoNormal" style="text-align: right;"><span lang="ES" style="color: black; font-size: 8pt; layout-grid-mode: line; mso-ansi-language: ES; mso-bidi-font-size: 10.0pt; mso-fareast-language: ES;">0.07142</span></div></td><td style="border-bottom: windowtext 0.75pt solid; border-left: medium none; border-right: windowtext 0.75pt solid; border-top: medium none; height: 2pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .75pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .75pt; padding-bottom: 0cm; padding-left: 1.5pt; padding-right: 1.5pt; padding-top: 0cm; width: 43pt;" valign="top" width="57"><div align="right" class="MsoNormal" style="text-align: right;"><span lang="ES" style="color: black; font-size: 8pt; layout-grid-mode: line; mso-ansi-language: ES; mso-bidi-font-size: 10.0pt; mso-fareast-language: ES;">0.07535</span></div></td></tr>
<tr style="height: 7.65pt;"><td style="border-bottom: windowtext 0.75pt solid; border-left: windowtext 0.75pt solid; border-right: windowtext 0.75pt solid; border-top: medium none; height: 7.65pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .75pt; padding-bottom: 0cm; padding-left: 1.5pt; padding-right: 1.5pt; padding-top: 0cm; width: 43pt;" valign="top" width="57"><div align="right" class="MsoNormal" style="text-align: right;"><b style="mso-bidi-font-weight: normal;"><i style="mso-bidi-font-style: normal;"><span lang="ES" style="color: blue; font-size: 8pt; layout-grid-mode: line; mso-ansi-language: ES; mso-bidi-font-size: 10.0pt; mso-fareast-language: ES;">0.2</span></i></b></div></td><td style="border-bottom: windowtext 0.75pt solid; border-left: medium none; border-right: windowtext 0.75pt solid; border-top: medium none; height: 7.65pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .75pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .75pt; padding-bottom: 0cm; padding-left: 1.5pt; padding-right: 1.5pt; padding-top: 0cm; width: 43pt;" valign="top" width="57"><div align="right" class="MsoNormal" style="text-align: right;"><span lang="ES" style="color: red; font-size: 8pt; layout-grid-mode: line; mso-ansi-language: ES; mso-bidi-font-size: 10.0pt; mso-fareast-language: ES;">0.07926</span></div></td><td style="border-bottom: windowtext 0.75pt solid; border-left: medium none; border-right: windowtext 0.75pt solid; border-top: medium none; height: 7.65pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .75pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .75pt; padding-bottom: 0cm; padding-left: 1.5pt; padding-right: 1.5pt; padding-top: 0cm; width: 43pt;" valign="top" width="57"><div align="right" class="MsoNormal" style="text-align: right;"><span lang="ES" style="color: black; font-size: 8pt; layout-grid-mode: line; mso-ansi-language: ES; mso-bidi-font-size: 10.0pt; mso-fareast-language: ES;">0.08317</span></div></td><td style="border-bottom: windowtext 0.75pt solid; border-left: medium none; border-right: windowtext 0.75pt solid; border-top: medium none; height: 7.65pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .75pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .75pt; padding-bottom: 0cm; padding-left: 1.5pt; padding-right: 1.5pt; padding-top: 0cm; width: 43pt;" valign="top" width="57"><div align="right" class="MsoNormal" style="text-align: right;"><span lang="ES" style="color: black; font-size: 8pt; layout-grid-mode: line; mso-ansi-language: ES; mso-bidi-font-size: 10.0pt; mso-fareast-language: ES;">0.08706</span></div></td><td style="border-bottom: windowtext 0.75pt solid; border-left: medium none; border-right: windowtext 0.75pt solid; border-top: medium none; height: 7.65pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .75pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .75pt; padding-bottom: 0cm; padding-left: 1.5pt; padding-right: 1.5pt; padding-top: 0cm; width: 43pt;" valign="top" width="57"><div align="right" class="MsoNormal" style="text-align: right;"><span lang="ES" style="color: black; font-size: 8pt; layout-grid-mode: line; mso-ansi-language: ES; mso-bidi-font-size: 10.0pt; mso-fareast-language: ES;">0.09095</span></div></td><td style="border-bottom: windowtext 0.75pt solid; border-left: medium none; border-right: windowtext 0.75pt solid; border-top: medium none; height: 7.65pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .75pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .75pt; padding-bottom: 0cm; padding-left: 1.5pt; padding-right: 1.5pt; padding-top: 0cm; width: 43pt;" valign="top" width="57"><div align="right" class="MsoNormal" style="text-align: right;"><span lang="ES" style="color: black; font-size: 8pt; layout-grid-mode: line; mso-ansi-language: ES; mso-bidi-font-size: 10.0pt; mso-fareast-language: ES;">0.09483</span></div></td><td style="border-bottom: windowtext 0.75pt solid; border-left: medium none; border-right: windowtext 0.75pt solid; border-top: medium none; height: 7.65pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .75pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .75pt; padding-bottom: 0cm; padding-left: 1.5pt; padding-right: 1.5pt; padding-top: 0cm; width: 43pt;" valign="top" width="57"><div align="right" class="MsoNormal" style="text-align: right;"><span lang="ES" style="color: black; font-size: 8pt; layout-grid-mode: line; mso-ansi-language: ES; mso-bidi-font-size: 10.0pt; mso-fareast-language: ES;">0.09871</span></div></td><td style="border-bottom: windowtext 0.75pt solid; border-left: medium none; border-right: windowtext 0.75pt solid; border-top: medium none; height: 7.65pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .75pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .75pt; padding-bottom: 0cm; padding-left: 1.5pt; padding-right: 1.5pt; padding-top: 0cm; width: 43pt;" valign="top" width="57"><div align="right" class="MsoNormal" style="text-align: right;"><span lang="ES" style="color: black; font-size: 8pt; layout-grid-mode: line; mso-ansi-language: ES; mso-bidi-font-size: 10.0pt; mso-fareast-language: ES;">0.10257</span></div></td><td style="border-bottom: windowtext 0.75pt solid; border-left: medium none; border-right: windowtext 0.75pt solid; border-top: medium none; height: 7.65pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .75pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .75pt; padding-bottom: 0cm; padding-left: 1.5pt; padding-right: 1.5pt; padding-top: 0cm; width: 43pt;" valign="top" width="57"><div align="right" class="MsoNormal" style="text-align: right;"><span lang="ES" style="color: black; font-size: 8pt; layout-grid-mode: line; mso-ansi-language: ES; mso-bidi-font-size: 10.0pt; mso-fareast-language: ES;">0.10642</span></div></td><td style="border-bottom: windowtext 0.75pt solid; border-left: medium none; border-right: windowtext 0.75pt solid; border-top: medium none; height: 7.65pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .75pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .75pt; padding-bottom: 0cm; padding-left: 1.5pt; padding-right: 1.5pt; padding-top: 0cm; width: 43pt;" valign="top" width="57"><div align="right" class="MsoNormal" style="text-align: right;"><span lang="ES" style="color: black; font-size: 8pt; layout-grid-mode: line; mso-ansi-language: ES; mso-bidi-font-size: 10.0pt; mso-fareast-language: ES;">0.11026</span></div></td><td style="border-bottom: windowtext 0.75pt solid; border-left: medium none; border-right: windowtext 0.75pt solid; border-top: medium none; height: 7.65pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .75pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .75pt; padding-bottom: 0cm; padding-left: 1.5pt; padding-right: 1.5pt; padding-top: 0cm; width: 43pt;" valign="top" width="57"><div align="right" class="MsoNormal" style="text-align: right;"><span lang="ES" style="color: black; font-size: 8pt; layout-grid-mode: line; mso-ansi-language: ES; mso-bidi-font-size: 10.0pt; mso-fareast-language: ES;">0.11409</span></div></td></tr>
</tbody></table>Equipo de Derecho Mercantilhttp://www.blogger.com/profile/09944509771760487610noreply@blogger.com4tag:blogger.com,1999:blog-3040259267387629809.post-83206393656498465912010-09-25T14:37:00.000-07:002010-09-25T14:37:28.017-07:00DISTRIBUCION BINOMIALSupongamos que un experimento aleatorio tiene las siguientes características: <div align="left"><blockquote><ul><li><span style="color: teal;">En cada prueba del experimento sólo son posibles dos resultados: el suceso A (éxito) y su contrario<span style="font-family: Symbol;">`A </span>(fracaso).</span> </li>
<li><span style="color: teal;">El resultado obtenido en cada prueba es independiente de los resultados obtenidos anteriormente.</span> </li>
<li><span style="color: teal;">La probabilidad del suceso A es constante, la representamos por <i>p</i>, y no varía de una prueba a otra. La probabilidad de <span style="font-family: Symbol;">`A</span> es 1- <i>p</i> y la representamos por <i>q</i> .</span> </li>
<li><span style="color: teal;">El experimento consta de un número <i>n</i> de pruebas.</span> </li>
</ul></blockquote>Todo experimento que tenga estas características diremos que sigue el modelo de la <b><i>distribución Binomial</i></b>. A la variable <i>X</i> que expresa el número de éxitos obtenidos en cada prueba del experimento, la llamaremos <b><i>variable aleatoria binomial</i></b>.<br />
<br />
La variable binomial es una variable aleatoria <i><u>discreta</u></i>, sólo puede tomar los valores 0, 1, 2, 3, 4, ..., <i>n</i> suponiendo que se han realizado <i>n</i> pruebas. Como hay que considerar todas las maneras posibles de obtener k-éxitos y (n-k) fracasos debemos calcular éstas por combinaciones (número combinatorio n sobre k).<br />
<br />
La distribución Binomial se suele representar por <span style="font-size: medium;"><i>B(n,p)</i></span> siendo <i>n</i> y <i>p</i> los parámetros de dicha distribución.<br />
<br />
<span style="color: maroon; font-size: large;">Función de <u>Probabilidad</u> de la v.a. Binomial</span><br />
<br />
<span style="color: maroon;"><i>Función de probabilidad de la distribución Binomial o también denominada función de la distribución de Bernoulli (para n=1). Verificándose: 0 <span style="font-family: Symbol;">£</span> p <span style="font-family: Symbol;">£</span> 1</i></span><br />
<blockquote><blockquote><img border="0" height="93" src="http://personal5.iddeo.es/ztt/Tem/t19_di1.gif" width="236" /><br />
<span style="color: green;">Como el cálculo de estas probabilidades puede resultar algo tedioso se han construido tablas para algunos valores de <i>n</i> y <i>p</i> que nos facilitan el trabajo.</span><br />
Ver <a href="http://personal5.iddeo.es/ztt/pra/p1_binomial000.htm">Tabla de la Función de Probabilidad de la Binomial</a></blockquote><span style="color: maroon; font-size: large;">Parámetros de la Distribución Binomial</span><br />
<blockquote><img border="0" height="97" src="http://personal5.iddeo.es/ztt/Tem/t19_di3.gif" width="229" /></blockquote><span style="color: maroon; font-size: large;">Función de <u>Distribución</u> de la v.a. Binomial</span><br />
<img border="0" height="64" src="http://personal5.iddeo.es/ztt/Tem/t19_di4.gif" width="488" /><br />
<blockquote>siendo k el mayor número entero menor o igual a x<sub>i</sub>.<br />
Esta función de distribución proporciona, para cada número real x<sub>i</sub>, la probabilidad de que la variable X tome valores menores o iguales que x<sub>i</sub>.<br />
<span style="color: green;">El cálculo de las F(x) = p( X <span style="font-family: Symbol;">£</span>x) </span><span style="color: green;">puede resultar laborioso, por ello se han construido tablas para algunos valores de <i>n</i> y <i>p</i> que nos facilitan el trabajo.</span></blockquote></blockquote><hr color="#ff0000" size="1" /><div align="center">Sea X una variable aleatoria discreta correspondiente a una distribución binomial.</div><div align="center"><img border="0" height="96" src="http://personal5.iddeo.es/ztt/Tem/t19_di2.gif" width="359" /></div><div align="center"><br />
</div><div align="left"><i><span style="color: red;"><b>Ejemplo 1</b></span></i></div><blockquote><div align="left">Una máquina fabrica una determinada pieza y se sabe que produce un 7 por 1000 de piezas defectuosas. Hallar la probabilidad de que al examinar 50 piezas sólo haya una defectuosa.</div><div align="left"><span style="color: blue;"><b>Solución :</b></span></div><div align="left">Se trata de una distribución binomial de parámetros B(50, 0'007) y debemos calcular la probabilidad p(X=1).</div><div align="left"><img border="0" height="64" src="http://personal5.iddeo.es/ztt/Tem/t19_di7.gif" width="336" /></div></blockquote><div align="left"><i><span style="color: red;"><b>Ejemplo 2</b></span></i></div><blockquote><div align="left">La probabilidad de éxito de una determinada vacuna es 0,72. Calcula la probabilidad de a que una vez administrada a 15 pacientes:<br />
a) Ninguno sufra la enfermedad<br />
b) Todos sufran la enfermedad<br />
c) Dos de ellos contraigan la enfermedad</div><div align="left"><b><span style="color: blue;">Solución :</span></b></div><div align="left">Se trata de una distribución binomial de parámetros B(15, 0'72)</div><div align="left"><img border="0" height="197" src="http://personal5.iddeo.es/ztt/Tem/t19_di8.gif" width="385" /></div></blockquote><div align="left"><i><span style="color: red;"><b>Ejemplo 3</b></span></i></div><blockquote><div align="left">La probabilidad de que el carburador de un coche salga de fábrica defectuoso es del 4 por 100. Hallar :<br />
a) El número de carburadores defectuosos esperados en un lote de 1000<br />
b) La varianza y la desviación típica.</div><div align="left"><b><span style="color: blue;">Solución :</span></b></div><div align="left"><img border="0" height="67" src="http://personal5.iddeo.es/ztt/Tem/t19_di9.gif" width="513" /></div></blockquote></div>Equipo de Derecho Mercantilhttp://www.blogger.com/profile/09944509771760487610noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-3040259267387629809.post-50360017611077735902010-09-25T14:21:00.000-07:002010-09-25T14:21:02.747-07:00ESTADISTICA DESCRIPTIVAUna vez que se han recogido los valores que toman las variables de nuestro estudio (datos), procederemos al análisis descriptivo de los mismos. Para variables categóricas, como el sexo o el estadiaje, se quiere conocer el número de casos en cada una de las categorías, reflejando habitualmente el porcentaje que representan del total, y expresándolo en una tabla de frecuencias.<br />
Para variables numéricas, en las que puede haber un gran número de valores observados distintos, se ha de optar por un método de análisis distinto, respondiendo a las siguientes preguntas:<br />
<br />
<ol type="a"><li><div align="left">¿Alrededor de qué valor se agrupan los datos? </div></li>
<li><div align="left">Supuesto que se agrupan alrededor de un número, ¿cómo lo hacen? ¿muy concentrados? ¿muy dispersos? </div></li>
</ol><b><a class="marcador" href="" name="a"></a>a. Medidas de tendencia central</b> <br />
Las medidas de centralización vienen a responder a la primera pregunta. La medida más evidente que podemos calcular para describir un conjunto de observaciones numéricas es su valor medio. La <b>media</b> no es más que la suma de todos los valores de una variable dividida entre el número total de datos de los que se dispone.<br />
Como ejemplo, consideremos 10 pacientes de edades 21 años, 32, 15, 59, 60, 61, 64, 60, 71, y 80. La media de edad de estos sujetos será de:<br />
<img height="41" src="http://www.fisterra.com/mbe/investiga/10descriptiva/images/Image29.gif" width="405" /><br />
Más formalmente, si denotamos por (X<sub>1</sub>, X<sub>2</sub>,...,X<sub>n</sub>) los n datos que tenemos recogidos de la variable en cuestión, el valor medio vendrá dado por:<br />
<div align="center"><blockquote><img height="66" src="http://www.fisterra.com/mbe/investiga/10descriptiva/images/Image33.gif" width="130" /></blockquote></div><div align="left"><blockquote>Otra medida de tendencia central que se utiliza habitualmente es la <b>mediana</b>. Es la observación equidistante de los extremos.<br />
La mediana del ejemplo anterior sería el valor que deja a la mitad de los datos por encima de dicho valor y a la otra mitad por debajo. Si ordenamos los datos de mayor a menor observamos la secuencia:</blockquote></div><div align="center"><blockquote>15, 21, 32, 59, 60, 60,61, 64, 71, 80.</blockquote></div><div align="left"><blockquote>Como quiera que en este ejemplo el número de observaciones es par (10 individuos), los dos valores que se encuentran en el medio son 60 y 60. Si realizamos el cálculo de la media de estos dos valores nos dará a su vez 60, que es el valor de la mediana.<br />
Si la media y la mediana son iguales, la distribución de la variable es simétrica. La media es muy sensible a la variación de las puntuaciones. Sin embargo, la mediana es menos sensible a dichos cambios.<br />
Por último, otra medida de tendencia central, no tan usual como las anteriores, es la moda, siendo éste el valor de la variable que presenta una mayor frecuencia.<br />
En el ejemplo anterior el valor que más se repite es 60, que es la <b>moda</b><br />
<br />
<b><a class="marcador" href="" name="b"></a>b. Medidas de dispersión</b><br />
Tal y como se adelantaba antes, otro aspecto a tener en cuenta al describir datos continuos es la dispersión de los mismos. Existen distintas formas de cuantificar esa variabilidad. De todas ellas, la <b>varianza</b> (S<sup>2</sup>) de los datos es la más utilizada. Es la media de los cuadrados de las diferencias entre cada valor de la variable y la media aritmética de la distribución.</blockquote></div><div align="center"><blockquote><img height="66" src="http://www.fisterra.com/mbe/investiga/10descriptiva/images/Image34.gif" width="181" /></blockquote></div><div align="left"><blockquote>Esta varianza muestral se obtiene como la suma de las de las diferencias de cuadrados y por tanto tiene como unidades de medida el cuadrado de las unidades de medida en que se mide la variable estudiada.<br />
En el ejemplo anterior la varianza sería:<br />
<table border="0" cellpadding="2" cellspacing="1"><tbody>
<tr><td>S<sub>x</sub><sup>2</sup>=</td><td><img height="45" src="http://www.fisterra.com/mbe/investiga/10descriptiva/images/Image35.gif" width="320" /></td></tr>
</tbody></table>La <b>desviación típica</b> (S) es la raíz cuadrada de la varianza. Expresa la dispersión de la distribución y se expresa en las mismas unidades de medida de la variable. La desviación típica es la medida de dispersión más utilizada en estadística.</blockquote></div><div align="center"><blockquote><img height="70" src="http://www.fisterra.com/mbe/investiga/10descriptiva/images/Image36.gif" width="194" /></blockquote></div><div align="left"><blockquote>Aunque esta fórmula de la desviación típica muestral es correcta, en la práctica, la estadística nos interesa para realizar inferencias poblacionales, por lo que en el denominador se utiliza, en lugar de n, el valor n-1.<br />
Por tanto, la medida que se utiliza es la cuasidesviación típica, dada por:</blockquote></div><div align="center"><blockquote><img height="70" src="http://www.fisterra.com/mbe/investiga/10descriptiva/images/Image37.gif" width="194" /></blockquote></div><div align="left"><blockquote>Aunque en muchos contextos se utiliza el término de desviación típica para referirse a ambas expresiones.<br />
En los cálculos del ejercicio previo, la desviación típica muestral, que tiene como denominador n, el valor sería 20.678. A efectos de cálculo lo haremos como n-1 y el resultado seria 21,79.<br />
El haber cambiado el denominador de n por n-1 está en relación al hecho de que esta segunda fórmula es una estimación más precisa de la <b>desviación estándar</b> verdadera de la población y posee las propiedades que necesitamos para realizar inferencias a la población.<br />
Cuando se quieren señalar valores extremos en una distribución de datos, se suele utilizar la amplitud como medida de dispersión. La amplitud es la diferencia entre el valor mayor y el menor de la distribución.<br />
Por ejemplo, utilizando los datos del ejemplo previo tendremos 80-15 =65.<br />
Como medidas de variabilidad más importantes, conviene destacar algunas características de la varianza y desviación típica:<br />
<br />
<ul style="list-style-image: url(../images/cuadrado.gif);"><li><div align="left">Son índices que describen la variabilidad o dispersión y por tanto cuando los datos están muy alejados de la media, el numerador de sus fórmulas será grande y la varianza y la desviación típica lo serán. </div></li>
<li><div align="left">Al aumentar el tamaño de la muestra, disminuye la varianza y la desviación típica. Para reducir a la mitad la desviación típica, la muestra se tiene que multiplicar por 4. </div></li>
<li><div align="left">Cuando todos los datos de la distribución son iguales, la varianza y la desviación típica son iguales a 0. </div></li>
<li><div align="left">Para su cálculo se utilizan todos los datos de la distribución; por tanto, cualquier cambio de valor será detectado. </div></li>
</ul>Otra medida que se suele utilizar es el <b>coeficiente de variación</b> (CV). Es una medida de dispersión relativa de los datos y se calcula dividiendo la desviación típica muestral por la media y multiplicando el cociente por 100. Su utilidad estriba en que nos permite comparar la dispersión o variabilidad de dos o más grupos. Así, por ejemplo, si tenemos el peso de 5 pacientes (70, 60, 56, 83 y 79 Kg) cuya media es de 69,6 kg. y su desviación típica (s) = 10,44 y la TAS de los mismos (150, 170, 135, 180 y 195 mmHg) cuya media es de 166 mmHg y su desviación típica de 21,3. La pregunta sería: ¿qué distribución es más dispersa, el peso o la tensión arterial? Si comparamos las desviaciones típicas observamos que la desviación típica de la tensión arterial es mucho mayor; sin embargo, no podemos comparar dos variables que tienen escalas de medidas diferentes, por lo que calculamos los coeficientes de variación:</blockquote></div><div align="center"><blockquote><table border="0" cellpadding="2" cellspacing="1"><tbody>
<tr><td>CV de la variable peso = </td><td><img height="44" src="http://www.fisterra.com/mbe/investiga/10descriptiva/images/Image38.gif" width="86" /></td></tr>
</tbody></table><br />
<table border="0" cellpadding="2" cellspacing="1"><tbody>
<tr><td>CV de la variable TAS = </td><td><img height="41" src="http://www.fisterra.com/mbe/investiga/10descriptiva/images/Image39.gif" width="97" /></td></tr>
</tbody></table></blockquote></div><div align="left"><blockquote>A la vista de los resultados, observamos que la variable peso tiene mayor dispersión.<br />
<a class="marcador" href="" name="posicion"></a>Cuando los datos se distribuyen de forma simétrica (y ya hemos dicho que esto ocurre cuando los valores de su media y mediana están próximos), se usan para describir esa variable su media y desviación típica. En el caso de distribuciones asimétricas, la mediana y la amplitud son medidas más adecuadas. En este caso, se suelen utilizar además los <b>cuartiles y percentiles</b>.<br />
Los cuartiles y percentiles no son medidas de tendencia central sino <b>medidas de posición</b>. El percentil es el valor de la variable que indica el porcentaje de una distribución que es igual o menor a esa cifra.<br />
Así, por ejemplo, el percentil 80 es el valor de la variable que es igual o deja por debajo de sí al 80% del total de las puntuaciones. Los cuartiles son los valores de la variable que dejan por debajo de sí el 25%, 50% y el 75% del total de las puntuaciones y así tenemos por tanto el primer cuartil (Q1), el segundo (Q2) y el tercer cuartil (Q3).</blockquote></div>Equipo de Derecho Mercantilhttp://www.blogger.com/profile/09944509771760487610noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-3040259267387629809.post-63187686883282860582010-09-25T12:51:00.000-07:002010-09-25T12:53:55.261-07:00PROBABILIDAD CONDICIONAL E INDEPENDIENTE<h1 class="firstHeading" id="firstHeading"><span style="color: black; font-size: large;">Probabilidad condicionada</span></h1><div id="bodyContent"><div id="siteSub"><span style="color: black;">De Wikipedia, la enciclopedia libre</span></div><div id="contentSub"><span style="color: black;"></span></div><div id="jump-to-nav"><span style="color: black;">Saltar a </span><a href="http://www.blogger.com/post-create.g?blogID=3040259267387629809#mw-head"><span style="color: black;">navegación</span></a><span style="color: black;">, </span><a href="http://www.blogger.com/post-create.g?blogID=3040259267387629809#p-search"><span style="color: black;">búsqueda</span></a><span style="color: black;"> </span></div><span style="color: black;"><b>Probabilidad condicionada</b> es la </span><a href="http://www.blogger.com/wiki/Probabilidad" title="Probabilidad"><span style="color: black;">probabilidad</span></a><span style="color: black;"> de que ocurra un </span><a href="http://www.blogger.com/wiki/Evento_estad%C3%ADstico" title="Evento estadístico"><span style="color: black;">evento</span></a><span style="color: black;"> <i>A</i>, sabiendo que también sucede otro evento <i>B</i>. La probabilidad condicional se escribe <i>P</i>(<i>A</i>|<i>B</i>), y se lee «la probabilidad de <i>A</i> dado <i>B</i>.</span><br />
<span style="color: black;">No tiene por qué haber una relación causal o temporal entre <i>A</i> y <i>B</i>. <i>A</i> puede preceder en el tiempo a <i>B</i>, sucederlo o pueden ocurrir simultáneamente. <i>A</i> puede causar <i>B</i>, viceversa o pueden no tener relación causal. Las relaciones causales o temporales son nociones que no pertenecen al ámbito de la probabilidad. Pueden desempeñar un papel o no dependiendo de la interpretación que se le dé a los eventos.</span><br />
<span style="color: black;">El <b>condicionamiento</b> de probabilidades puede lograrse aplicando el </span><a href="http://www.blogger.com/wiki/Teorema_de_Bayes" title="Teorema de Bayes"><span style="color: black;">teorema de Bayes</span></a><span style="color: black;">.</span><br />
<h2><span class="mw-headline" id="Definici.C3.B3n"><span style="color: black; font-size: small;">Definición</span></span></h2><span style="color: black;">Dado un </span><a class="mw-redirect" href="http://www.blogger.com/wiki/Espacio_de_probabilidad" title="Espacio de probabilidad"><span style="color: black;">espacio de probabilidad</span></a><span style="color: black;"> <span class="texhtml"><span style="font-family: Batang;">(Ω,<i>F</i>,<i>P</i>)</span></span> y dos </span><a href="http://www.blogger.com/wiki/Evento_estad%C3%ADstico" title="Evento estadístico"><span style="color: black;">eventos (o sucesos)</span></a><span style="color: black;"> <img alt="A, B\in F" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/6/4/7/647f734564d218642a00f49715b01c36.png" /> con <span class="texhtml"><span style="font-family: Batang;"><i>P</i>(<i>B</i>) > 0</span></span>, la probabilidad condicional de <i>A</i> dado <i>B</i> está definida como:</span><br />
<dl><dd><span style="color: black;"><img alt="P(A \mid B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}." class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/1/0/d/10d0354e34f358b86cd65a47b9442926.png" /></span></dd></dl><div class="thumb tright"><div class="thumbinner" style="width: 222px;"><a class="image" href="http://www.blogger.com/wiki/Archivo:Probabilidad_condicionada.svg"><span style="color: black;"><img alt="" class="thumbimage" height="166" src="http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/7/70/Probabilidad_condicionada.svg/220px-Probabilidad_condicionada.svg.png" width="220" /></span></a><span style="color: black;"> </span><br />
<div class="thumbcaption"><div class="magnify"><a class="internal" href="http://www.blogger.com/wiki/Archivo:Probabilidad_condicionada.svg" title="Aumentar"><span style="color: black;"><img alt="" height="11" src="http://bits.wikimedia.org/skins-1.5/common/images/magnify-clip.png" width="15" /></span></a></div><span style="color: black;"><img alt="P(A \mid B)" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/9/8/8/9888705c26479324135cb44e121aca97.png" /> se puede interpretar como, tomando los mundos en los que B se cumple, la fracción en los que también se cumple A.</span></div></div></div><h2><span style="font-size: small;"><span style="color: black;"> <span class="mw-headline" id="Interpretaci.C3.B3n">Interpretación</span></span></span></h2><span style="color: black;"><img alt="P(A \mid B)" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/9/8/8/9888705c26479324135cb44e121aca97.png" /> se puede interpretar como, tomando los mundos en los que B se cumple, la fracción en los que también se cumple A. Si el evento B es, por ejemplo, tener la gripe, y el evento A es tener dolor de cabeza, <img alt="P(A \mid B)" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/9/8/8/9888705c26479324135cb44e121aca97.png" /> sería la probabilidad de tener dolor de cabeza cuando se está enfermo de gripe.</span><br />
<span style="color: black;">Gráficamente, si se interpreta el espacio de la ilustración como el espacio de todos los mundos posibles, A serían los mundos en los que se tiene dolor de cabeza y B el espacio en el que se tiene gripe. La zona verde de la intersección representaría los mundos en los que se tiene gripe y dolor de cabeza <img alt="P(A \cap B)" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/6/d/e/6de3a4670340b7be5303b63574cb3113.png" />. En este caso <img alt="P(A \mid B)" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/9/8/8/9888705c26479324135cb44e121aca97.png" />, es decir, la probabilidad de que alguien tenga dolor de cabeza sabiendo que tiene gripe, sería la proporción de mundos con gripe y dolor de cabeza (color verde) de todos los mundos con gripe: El área verde dividida por el área de B. Como el área verde representa <img alt="P(A \cap B)" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/6/d/e/6de3a4670340b7be5303b63574cb3113.png" /> y el área de B representa a <span class="texhtml"><span style="font-family: Batang;"><i>P</i>(<i>B</i>)</span></span>, formalmente se tiene que:</span><br />
<dl><dd><span style="color: black;"><img alt="P(A \mid B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}." class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/1/0/d/10d0354e34f358b86cd65a47b9442926.png" /></span></dd></dl><h2><span style="font-size: small;"><span style="color: black;"> <span class="mw-headline" id="Propiedades">Propiedades</span></span></span></h2><ol><li><span style="color: black;"><img alt="P(A \mid B) + P(\bar{A} \mid B) = 1 " class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/2/1/6/216c518c7c5e0265260c597c888b5eb5.png" /></span></li>
<li><span style="color: black;"><img alt=" B \subseteq A \to P(A \mid B) = 1 " class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/d/c/2/dc27044d3d3f91777acc81513922a389.png" /></span></li>
</ol><br />
<span style="color: black;">Pero <b>NO</b> es cierto que <img alt="P(A \mid B) + P(A \mid \bar{B}) = 1 " class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/a/5/f/a5fe7073897e8fc010d2bf18cd485952.png" /></span><br />
<div class="thumb tright"><div class="thumbinner" style="width: 222px;"><a class="image" href="http://www.blogger.com/wiki/Archivo:Probabilidad_condicionada-independientes.svg"><span style="color: black;"><img alt="" class="thumbimage" height="166" src="http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/2/2e/Probabilidad_condicionada-independientes.svg/220px-Probabilidad_condicionada-independientes.svg.png" width="220" /></span></a><span style="color: black;"> </span><br />
<div class="thumbcaption"><div class="magnify"><a class="internal" href="http://www.blogger.com/wiki/Archivo:Probabilidad_condicionada-independientes.svg" title="Aumentar"><span style="color: black;"><img alt="" height="11" src="http://bits.wikimedia.org/skins-1.5/common/images/magnify-clip.png" width="15" /></span></a></div><span style="color: black;">La proporción de zona verde dentro de B es la misma que la de A en todo el espacio y, de la misma forma, la proporción de la zona verde dentro de A es la misma que la de B en todo el espacio. Son sucesos independientes.</span></div></div></div><h2><span class="mw-headline" id="Independencia_de_sucesos"><span style="color: black; font-size: small;">Independencia de sucesos</span></span></h2><div class="noprint AP" style="margin: 0px 0px 0.2ex 1em;"><i><span style="color: black;">Artículo principal: </span><a href="http://www.blogger.com/wiki/Independencia_(probabilidad)" title="Independencia (probabilidad)"><span style="color: black;">Independencia (probabilidad)</span></a></i></div><span style="color: black;">Dos sucesos aleatorios <i>A</i> y <i>B</i> son independientes si y sólo si:</span><br />
<dl><dd><span style="color: black;"><img alt="P(A \cap B) \ = \ P(A) P(B)." class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/c/9/8/c9821dfc4286e8808f64afe964f4ad08.png" /></span></dd></dl><span style="color: black;">O sea que si <i>A</i> y <i>B</i> son independientes, su probabilidad conjunta, <img alt="P(A \cap B)" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/6/d/e/6de3a4670340b7be5303b63574cb3113.png" /> ó <span class="texhtml"><span style="font-family: Batang;"><i>P</i>(<i>A</i>,<i>B</i>).</span></span></span><br />
<span style="color: black;">puede ser expresada como el producto de las probabilidades individuales. Equivalentemente:</span><br />
<dl><dd><span style="color: black;"><img alt="P(A|B) \ = \ P(A) " class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/b/f/1/bf1132548cd1a2b6b1ba73261acda74b.png" /></span></dd><dd><span style="color: black;"><img alt=" P(B|A) \ = \ P(B)." class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/3/a/c/3ac4ebd63a91d6f0e3134ace75b5c24b.png" /></span></dd></dl><span style="color: black;">En otras palabras, si <i>A</i> y <i>B</i> son independientes, la probabilidad condicional de <i>A</i> dado <i>B</i> es simplemente la probabilidad de <i>A</i> y viceversa.</span><br />
<h2><span style="font-size: small;"><span style="color: black;"> <span class="mw-headline" id="Exclusividad_mutua">Exclusividad mutua</span></span></span></h2><div class="thumb tright"><div class="thumbinner" style="width: 222px;"><a class="image" href="http://www.blogger.com/wiki/Archivo:Probabilidad_condicionada-exclusividad.svg"><span style="color: black;"><img alt="" class="thumbimage" height="166" src="http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/f/f4/Probabilidad_condicionada-exclusividad.svg/220px-Probabilidad_condicionada-exclusividad.svg.png" width="220" /></span></a><span style="color: black;"> </span><br />
<div class="thumbcaption"><div class="magnify"><a class="internal" href="http://www.blogger.com/wiki/Archivo:Probabilidad_condicionada-exclusividad.svg" title="Aumentar"><span style="color: black;"><img alt="" height="11" src="http://bits.wikimedia.org/skins-1.5/common/images/magnify-clip.png" width="15" /></span></a></div><span style="color: black;">Los conjuntos A y B no intersecan. Son mutuamente excluyentes.</span></div></div></div><span style="color: black;">Dos sucesos <i>A</i> y <i>B</i> son mutuamente excluyentes si y sólo si <img alt="A \cap B = \emptyset" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/3/5/7/357172dce670dd7422031c6767bf800b.png" />. Entonces, <img alt="P(A \cap B) = 0" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/b/e/8/be874aa834532b65b5ceffea82f0a8c0.png" />.</span><br />
<span style="color: black;">Además, si <span class="texhtml"><span style="font-family: Batang;"><i>P</i>(<i>B</i>) > 0</span></span> entonces <img alt="P(A\mid B)" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/9/8/8/9888705c26479324135cb44e121aca97.png" /> es igual a 0.</span><br />
<h2><span style="font-size: small;"><span style="color: black;"> <span class="mw-headline" id="La_falacia_de_la_probabilidad_condicional">La falacia de la probabilidad condicional</span></span></span></h2><span style="color: black;">La </span><a href="http://www.blogger.com/wiki/Falacia" title="Falacia"><span style="color: black;">falacia</span></a><span style="color: black;"> de la probabilidad condicional se basa en asumir que <i>P</i>(<i>A</i>|<i>B</i>) es casi igual a <i>P</i>(<i>B</i>|<i>A</i>). El matemático </span><a href="http://www.blogger.com/wiki/John_Allen_Paulos" title="John Allen Paulos"><span style="color: black;">John Allen Paulos</span></a><span style="color: black;"> analiza en su libro </span><a href="http://www.blogger.com/wiki/El_hombre_anum%C3%A9rico" title="El hombre anumérico"><span style="color: black;">El hombre anumérico</span></a><span style="color: black;"> este error muy común cometido por doctores, abogados y otras personas que desconocen la </span><a href="http://www.blogger.com/wiki/Probabilidad" title="Probabilidad"><span style="color: black;">probabilidad</span></a><span style="color: black;">.</span><br />
<span style="color: black;">La verdadera relación entre <i>P</i>(<i>A</i>|<i>B</i>) y <i>P</i>(<i>B</i>|<i>A</i>) es la siguiente:</span><br />
<dl><dd><span style="color: black;"><img alt="P(B \mid A)= P(A \mid B) \cdot \frac{P(B)}{P(A)}" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/c/0/4/c04373c301f7120dc5f0b44fbe994154.png" /> (</span><a href="http://www.blogger.com/wiki/Teorema_de_Bayes" title="Teorema de Bayes"><span style="color: black;">Teorema de Bayes</span></a><span style="color: black;">)</span></dd></dl><h2><span class="mw-headline" id="Problemas_de_ejemplo"><span style="color: black; font-size: small;">Problemas de ejemplo</span></span></h2><span style="color: black;">---La paradoja del falso positivo---</span><br />
<span style="color: black;">La magnitud de este problema es la mejor entendida en términos de probabilidades condicionales.</span><br />
<span style="color: black;">Supongamos un grupo de personas de las que el 1 % sufre una cierta enfermedad, y el resto está bien. Escogiendo un individuo al azar:</span><br />
<span style="color: black;"><span class="texhtml"><span style="font-family: Batang;"><i>P</i>(<i>e</i><i>n</i><i>f</i><i>e</i><i>r</i><i>m</i><i>o</i>) = 1% = 0.01</span></span> y <span class="texhtml"><span style="font-family: Batang;"><i>P</i>(<i>s</i><i>a</i><i>n</i><i>o</i>) = 99% = 0.99</span></span></span><br />
<span style="color: black;">Supongamos que aplicando una prueba a una persona que no tiene la enfermedad, hay una posibilidad del 1 % de conseguir un falso positivo, esto es:</span><br />
<span style="color: black;"><span class="texhtml"><span style="font-family: Batang;"><i>P</i>(<i>p</i><i>o</i><i>s</i><i>i</i><i>t</i><i>i</i><i>v</i><i>o</i> | <i>s</i><i>a</i><i>n</i><i>o</i>) = 1%</span></span> y <span class="texhtml"><span style="font-family: Batang;"><i>P</i>(<i>n</i><i>e</i><i>g</i><i>a</i><i>t</i><i>i</i><i>v</i><i>o</i> | <i>s</i><i>a</i><i>n</i><i>o</i>) = 99%</span></span></span><br />
<span style="color: black;">Finalmente, supongamosque aplicando la prueba a una persona que tiene la enfermedad, hay una posibilidad del 1 % de un falso negativo, esto es:</span><br />
<span style="color: black;"><span class="texhtml"><span style="font-family: Batang;"><i>P</i>(<i>n</i><i>e</i><i>g</i><i>a</i><i>t</i><i>i</i><i>v</i><i>o</i> | <i>e</i><i>n</i><i>f</i><i>e</i><i>r</i><i>m</i><i>o</i>) = 1%</span></span> y <span class="texhtml"><span style="font-family: Batang;"><i>P</i>(<i>p</i><i>o</i><i>s</i><i>i</i><i>t</i><i>i</i><i>v</i><i>o</i> | <i>e</i><i>n</i><i>f</i><i>e</i><i>r</i><i>m</i><i>o</i>) = 99%</span></span></span><br />
<br />
<span style="color: black;">Ahora, uno puede calcular lo siguiente:</span><br />
<span style="color: black;">La fracción de individuos en el grupo que están sanos y dan negativo:</span><br />
<br />
<span style="color: black;"><img alt="P( sano \cap negativo) = P(sano) \times P(negativo|sano)=99% \times 99%=98.01%" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/a/7/d/a7d23239903dc8f889149cfa62433bb4.png" /></span><br />
<br />
<span style="color: black;">La fracción de individuos en el grupo que están enfermos y dan positivo:</span><br />
<br />
<span style="color: black;"><img alt="P( enfermo \cap positivo) = P(enfermo) \times P(postivo|enfermo) = 1% \times 99% = 0.99%" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/9/5/4/954e8b2d6249f6aa2cc2a10a12f158d8.png" /></span><br />
<br />
<span style="color: black;">La fracción de individuos en el grupo que dan falso positivo:</span><br />
<br />
<span style="color: black;"><img alt="P( sano \cap positivo) = P(sano) \times P(postivo|sano) = 99% \times 1% = 0.99%" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/6/0/4/604b5809a250088109238e1ed8515732.png" /></span><br />
<br />
<span style="color: black;">La fracción de individuos en el grupo que dan falso negativo:</span><br />
<br />
<span style="color: black;"><img alt="P( enfermo \cap negativo) = P(enfermo) \times P(negativo|enfermo) = 1% \times 1% = 0.01%" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/2/d/5/2d51ff56fb79400866ee3fd9177b45fa.png" /></span><br />
<br />
<span style="color: black;">Además, la fracción de individuos en el grupo que dan positivo:</span><br />
<br />
<span style="color: black;"><img alt="P( positivo ) = P ( sano \cap positivo ) + P ( enfermo \cap postivo ) = 0.99% + 0.99% = 1.98%" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/f/6/f/f6f6b5ea4f79f1311146bf723b5612c2.png" /></span><br />
<br />
<span style="color: black;">Finalmente, la probabilidad de que un individuo realmente tenga la enfermedad, dado un resultado de la prueba positivo:</span><br />
<span style="color: black;"><img alt="P(enfermo|positivo) = \frac{P(enfermo \cap positivo)}{P(positivo)}=\frac{0.99%}{1.98%}=50%" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/d/6/7/d676c98dd325661ccaf34dac14d70fa5.png" /></span><br />
<span style="color: black;">En este ejemplo, debería ser fácil ver la diferencia entre las probabilidades condicionadas P (positivo | enfermo) (que es del 99 %) y P (enfermo | positivo) (que es del 50 %): la primera es la probabilidad de que un individuo enfermo de positivo en la prueba; la segunda es la probabilidad de que un individuo que da positivo en la prueba tenga realmente la enfermedad. Con los números escogidos aquí, este último resultado probablemente sería considerado inaceptable: la mitad de la gente que da positivo en realidad está sana.</span><br />
<span style="color: black;"><br />
</span><br />
<span style="color: black;"></span><span style="color: black;">La probabilidad de tener una enfermedad rara es de 0,001: <span class="texhtml"><span style="font-family: Batang;"><i>P</i>(<i>e</i><i>n</i><i>f</i><i>e</i><i>r</i><i>m</i><i>o</i>) = 0,001</span></span></span><br />
<hr /><br />
<span style="color: black;">La probabilidad de que cuando el paciente está enfermo se acierte en el diagnóstico es de 0,99: <span class="texhtml"><span style="font-family: Batang;"><i>P</i>(<i>p</i><i>o</i><i>s</i><i>i</i><i>t</i><i>i</i><i>v</i><i>o</i> | <i>e</i><i>n</i><i>f</i><i>e</i><i>r</i><i>m</i><i>o</i>) = 0,99</span></span></span><br />
<span style="color: black;">La probabilidad de falso positivo es de 0,05: <span class="texhtml"><span style="font-family: Batang;"><i>P</i>(<i>p</i><i>o</i><i>s</i><i>i</i><i>t</i><i>i</i><i>v</i><i>o</i> | <i>s</i><i>a</i><i>n</i><i>o</i>) = 0,05</span></span></span><br />
<span style="color: black;">Pregunta: Me dicen que he dado positivo, ¿Qué probabilidad hay de que tenga la enfermedad?</span><br />
<span style="color: black;"><img alt="P(enfermo|positivo)=\frac{P(enfermo) \times P(positivo|enfermo)}{P(positivo)} " class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/7/4/7/7477c6e37eda15a776553dad776038a6.png" /> <img alt="P(enfermo|positivo)= P(enfermo) \times \frac{P(positivo|enfermo)}{P(enfermo) \times P(positivo|enfermo)+P(sano) \times P(positivo|sano)}" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/0/9/2/092a63391ee1c59e42b7d866de8970c5.png" /> <img alt="P(enfermo|positivo)=\frac{ 0,001 \times 0,99 }{0,001 \times 0,99+0,999 \times 0,05}= 0,019= 1,9%" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/7/1/9/7190ed8a59c8acc6977c8f59ca6c1f26.png" /></span><br />
<br />
<br />
<br />
<h1 class="firstHeading" id="firstHeading"><span style="font-size: large;">Probabilidad Independiente</span></h1><div id="bodyContent"><div id="siteSub">De Wikipedia, la enciclopedia libre</div><div id="contentSub"></div><div id="jump-to-nav">Saltar a <a href="http://www.blogger.com/post-create.g?blogID=3040259267387629809#mw-head"><span style="color: #0645ad;">navegación</span></a>, <a href="http://www.blogger.com/post-create.g?blogID=3040259267387629809#p-search"><span style="color: #0645ad;">búsqueda</span></a> </div>En <a class="mw-redirect" href="http://www.blogger.com/wiki/Teor%C3%ADa_de_probabilidades" title="Teoría de probabilidades"><span style="color: #0645ad;">teoría de probabilidades</span></a>, se dice que dos <a class="mw-redirect" href="http://www.blogger.com/wiki/Suceso_aleatorio" title="Suceso aleatorio"><span style="color: #0645ad;">sucesos aleatorios</span></a> son <b>independientes</b> entre sí cuando la <a href="http://www.blogger.com/wiki/Probabilidad" title="Probabilidad"><span style="color: #0645ad;">probabilidad</span></a> de cada uno de ellos no está influida por que el otro suceso ocurra o no, es decir, cuando ambos sucesos no están <a href="http://www.blogger.com/wiki/Correlaci%C3%B3n" title="Correlación"><span style="color: #0645ad;">correlacionados</span></a>.<br />
<h2><span class="mw-headline" id="Definici.C3.B3n_formal"><span style="font-size: small;">Definición formal</span></span></h2>Dos sucesos son independientes si la probabilidad de que ocurran ambos simultáneamente es igual al producto de las probabilidades de que ocurra cada uno de ellos, es decir, si <span class="texhtml"><i><span style="font-family: Batang;">A</span></i></span> y <span class="texhtml"><i><span style="font-family: Batang;">B</span></i></span> son dos sucesos, y <span class="texhtml"><span style="font-family: Batang;"><i>P</i>(<i>A</i>)</span></span> y <span class="texhtml"><span style="font-family: Batang;"><i>P</i>(<i>B</i>)</span></span> son las probabilidades de que ocurran respectivamente entonces:<br />
<table style="margin-right: 4em; max-width: 77%; min-width: 50%;"><tbody>
<tr><td><blockquote style="background-color: white; border-bottom: #880000 1px solid; border-left: #880000 1px solid; border-right: #880000 1px solid; border-top: #880000 1px solid; color: black; font-family: Georgia, serif; padding-bottom: 0.5em; padding-left: 1.5em; padding-right: 2em; padding-top: 0.5em;"><span class="texhtml"><i><span style="font-family: Batang;">A</span></i></span> y <span class="texhtml"><i><span style="font-family: Batang;">B</span></i></span> son <i>independientes</i> <a class="mw-redirect" href="http://www.blogger.com/wiki/Si_y_solo_si" title="Si y solo si"><span style="color: #0645ad;">si y solo si</span></a> <img alt="P(A\cap B) = P(A)P(B)" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/6/4/7/6479b99698457bc6379dd3ae22c75895.png" /></blockquote></td></tr>
</tbody></table><h3><span style="font-size: small;"> <span class="mw-headline" id="Motivaci.C3.B3n_de_la_definici.C3.B3n">Motivación de la definición</span></span></h3>Sean <span class="texhtml"><i><span style="font-family: Batang;">A</span></i></span> y <span class="texhtml"><i><span style="font-family: Batang;">B</span></i></span> dos sucesos tales que <span class="texhtml"><span style="font-family: Batang;"><i>P</i>(<i>B</i>) > 0</span></span>, intuitivamente <i>A</i> es independiente de <i>B</i> si la probabilidad de <i>A</i> <a href="http://www.blogger.com/wiki/Probabilidad_condicionada" title="Probabilidad condicionada"><span style="color: #0645ad;">condicionada</span></a> por <i>B</i> es igual a la probabilidad de <i>A</i>. Es decir si:<br />
<dl><dd><img alt="P(A|B) \ = \ P(A)" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/b/f/1/bf1132548cd1a2b6b1ba73261acda74b.png" /></dd></dl>De la propia definición de probabilidad condicionada:<br />
<dl><dd><img alt="P(A \mid B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}." class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/1/0/d/10d0354e34f358b86cd65a47b9442926.png" /></dd></dl>se deduce que <img alt="P(A \cap B) \ = \ P(A \mid B) P(B)," class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/d/3/0/d30baf408cced7d630e0fa741c70769d.png" /> y dado que <img alt="P(A|B) \ = \ P(A)" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/b/f/1/bf1132548cd1a2b6b1ba73261acda74b.png" /> deducimos trivialmente que <img alt="P(A \cap B) \ = \ P(A) P(B)," class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/d/3/6/d36aa59ba416aee8dc0549274d8c4470.png" />.<br />
Si el suceso <i>A</i> es independiente del suceso <i>B</i>, automáticamente el suceso <i>B</i> es independiente de <i>A</i>.<br />
<h2><span style="font-size: small;"> <span class="mw-headline" id="Propiedades">Propiedades</span></span></h2>La independencia de sucesos es algo muy importante para la estadística y es <a class="mw-redirect" href="http://www.blogger.com/wiki/Condici%C3%B3n_necesaria" title="Condición necesaria"><span style="color: #0645ad;">condición necesaria</span></a> en multitud de teoremas. Por ejemplo, una de las primeras propiedades que se deriva de la definición de sucesos independientes es que si dos sucesos son independientes entre sí, la probabilidad de la <a href="http://www.blogger.com/wiki/Intersecci%C3%B3n_de_conjuntos" title="Intersección de conjuntos"><span style="color: #0645ad;">intersección</span></a> es igual al producto de las probabilidades.</div></div>Equipo de Derecho Mercantilhttp://www.blogger.com/profile/09944509771760487610noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-3040259267387629809.post-76439744051225672932010-09-25T11:44:00.000-07:002010-09-25T11:44:36.997-07:00PROBABILIDADES<span>Las Probabilidades pertenecen a la rama de la matemática que estudia ciertos experimentos llamados aleatorios, o sea regidos por el azar, en que se conocen todos los resultados posibles, pero no es posible tener certeza de cuál será en particular el resultado del experimento. Por ejemplo, experimentos aleatorios cotidianos son el lanzamiento de una moneda, el lanzamiento de un dado, extracción de una carta de un mazo de naipes. Más adelante se verá que debemos distinguir entre los conceptos de probabilidades matemáticas o clásicas de las probabilidades experimentales o estadísticas. </span><br />
<br />
<h3><span style="font-size: small;">Probabilides, Algunas Definiciones</span></h3><span><b><u>Espacio Muestral.-</u></b> Se llama espacio muestral (E) asociado a un experimento aleatorio, el conjunto de todos los resultados posibles de dicho experimento.</span><br />
<span>Al lanzar una moneda, el espacio muestral es E = {sale cara, sale sello} ó E = {c, s}. <br />
<br />
Al lanzar un dado de seis caras, el espacio muestral es <br />
E = {sale 1, sale 2, sale 3, sale 4, sale 5, sale 6} <br />
ó E = {1, 2, 3, 4, 5, 6}<br />
<br />
Al lanzar dos monedas, el espacio muestral es <br />
E = {(c,c), (c,s), (s,c), (s,s)}. <br />
<br />
Al lanzar tres monedas, el espacio muestral es E = {(c,c,c), (c,c,s), (c,s,c), (c,s,s), (s,c,c), (s,c,s), (s,s,c), (s,s,s)}</span><br />
<span><b><u>Evento o Suceso</u></b>. Se llama evento o suceso a todo subconjunto de un espacio muestral. Por ejemplo en el espacio muestral E = {1, 2, 3, 4, 5, 6} del lanzamiento de un dado, los siguientes son eventos:<br />
<br />
1. Obtener un número primo A = {2, 3, 5}<br />
2. Obtener un número primo y par B = {2}<br />
3. Obtener un número mayor o igual a 5 C = {5, 6}</span><br />
<span><b><u>Eventos mutuamente excluyentes.-</u></b> Dos eventos son mutuamente excluyentes si no pueden ocurrir en forma simultánea, esto es, si y sólo si su intersección es vacía. Por ejemplo, en el lanzamiento de un dado los eventos B = {2} y C = {5, 6} son mutuamente excluyentes por cuanto <br />
B <img height="8" src="http://www.blogger.com/images/interc.gif" width="11" /> C = <img height="13" src="http://www.blogger.com/images/phi.gif" width="7" /></span><br />
<span><b><u>Eventos Complementarios.-</u></b> Si A <img height="8" src="http://www.blogger.com/images/interc.gif" width="11" /> B = <img height="13" src="http://www.blogger.com/images/phi.gif" width="7" /> y A <img height="7" src="http://www.blogger.com/images/union.gif" width="9" /> B = E, se dice que A y B son eventos complementarios: A<sup>c</sup> = B y <br />
B<sup>c</sup> = A </span><br />
<span><b><u>Su Medición Matemática o Clásica</u></b>. Si en un experimento aleatorio todos los resultados son equiprobables (iguales probabilidades), es decir, la ocurrencia de uno es igualmente posible que la ocurrencia de cualquiera de los demás, entonces, la probabilidad de un evento A es la razón: <br />
P(A) = número de casos favorables para A/número total de casos posibles <br />
<br />
A partir de esta definición las probabilidades de los posibles resultados del experimento se pueden determinar a priori, es decir, sin realizar el experimento.<br />
<br />
Se deduce de la definición lo siguiente:<br />
0 <img height="10" src="http://www.blogger.com/images/lessoreq.gif" width="6" /> P(A) <img height="10" src="http://www.blogger.com/images/lessoreq.gif" width="7" /> 1 La medición probabilística es un número real entre 0 y 1, inclusive, ó 0% <img height="10" src="http://www.blogger.com/images/lessoreq.gif" width="7" /> P(A) <img height="10" src="http://www.blogger.com/images/lessoreq.gif" width="7" /> 100% en porcentaje. <br />
P(<img height="15" src="http://www.blogger.com/images/phi.gif" width="8" />) = 0 y P(E) = 1 </span><br />
<span><b><u>Su Medición Experimental o Estadística.-</u></b> La frecuencia relativa del resultado A de un experimento es la razón <br />
FR = número de veces que ocurre A/número de veces que se realiza el experimento <br />
<br />
Si el experimento se repite un número grande de veces, el valor de FR se aproximará a la medición probabilística P del evento A. Por ejemplo, si lanzo 100 veces una moneda, el número de veces que obtengo cara es cercano a 50, o sea FR es cercano a 50%.</span>Equipo de Derecho Mercantilhttp://www.blogger.com/profile/09944509771760487610noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-3040259267387629809.post-2242210569086759332010-09-25T09:44:00.000-07:002010-09-25T10:19:55.463-07:00AXIOMAS DE PROBABILIDAD<span style="color: black;"> Los <b>axiomas de <a href="http://www.blogger.com/wiki/Probabilidad" title="Probabilidad"><span style="color: #0645ad;">probabilidad</span></a></b> son las condiciones mínimas que deben verificarse para que una función definida sobre un conjunto de sucesos determine consistentemente sus probabilidades. Fueron formulados por <a href="http://www.blogger.com/wiki/Andr%C3%A9i_Kolmog%C3%B3rov" title="Andréi Kolmogórov"><span style="color: #0645ad;">Kolmogórov</span></a> en <a href="http://www.blogger.com/wiki/1933" title="1933"><span style="color: #0645ad;">1933</span></a>.<br />
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</script><br />
<h2><span style="font-size: small;"> <span class="mw-headline" id="Axiomas_de_Kolmog.C3.B3rov">Axiomas de Kolmogórov</span></span></h2>Dado un conjunto de sucesos elementales, <i>Ω</i>, sobre el que se ha definida una <a href="http://www.blogger.com/wiki/Sigma-%C3%A1lgebra" title="Sigma-álgebra"><span style="color: #0645ad;">σ-álgebra</span></a> (léase sigma-álgebra) σ de subconjuntos de <i>Ω</i> y una función P que asigna valores <a href="http://www.blogger.com/wiki/N%C3%BAmero_real" title="Número real"><span style="color: #0645ad;">reales</span></a> a los miembros de σ, a los que denominamos "sucesos", se dice que P es una probabilidad sobre (<i>Ω</i>,σ) si se cumplen los siguientes tres axiomas.<br />
<h3><span style="font-size: small;"> <span class="mw-headline" id="Primer_axioma">Primer axioma</span></span></h3>La probabilidad de un suceso <span class="texhtml"><i><span style="font-family: Batang;">A</span></i></span> es un <a href="http://www.blogger.com/wiki/N%C3%BAmero_real" title="Número real"><span style="color: #0645ad;">número real</span></a> mayor o igual que 0.<br />
<dl><dd><img alt="P(A) \geq 0 " class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/2/a/0/2a0388393dc460348ca40c1a1cb45506.png" /></dd></dl><h3><span style="font-size: small;"> <span class="mw-headline" id="Segundo_axioma">Segundo axioma</span></span></h3>La probabilidad del total, <span class="texhtml"><span style="font-family: Batang;">Ω</span></span>, es igual a 1, es decir,<br />
<dl><dd><img alt="P(\Omega) = 1\!" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/5/c/3/5c3069b7327506353a1561df7b5e0b99.png" /></dd></dl><h3><span style="font-size: small;"><span class="mw-headline" id="Tercer_axioma">Tercer axioma</span></span></h3>Si <img alt="A_1, A_2, \dots" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/6/2/4/62446daf8378c4f8ba47f3fd9192a327.png" /> son sucesos mutuamente excluyentes (incompatibles dos a dos, <a href="http://www.blogger.com/wiki/Conjuntos_disjuntos" title="Conjuntos disjuntos"><span style="color: #0645ad;">disjuntos</span></a> o de intersección vacía dos a dos), entonces:<br />
<dl><dd><img alt="P(A_1 \cup A_2 \cup \cdots) = \sum P(A_i)" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/1/e/9/1e9e93e3a57b8174133a6f1afb2d9e20.png" />.</dd></dl>Según este axioma se puede calcular la probabilidad de un suceso compuesto de varias alternativas mutuamente excluyentes sumando las probabilidades de sus componentes.<br />
En términos más formales, una probabilidad es una <a href="http://www.blogger.com/wiki/Teor%C3%ADa_de_la_medida" title="Teoría de la medida"><span style="color: #0645ad;">medida</span></a> sobre una <a href="http://www.blogger.com/wiki/Sigma-%C3%A1lgebra" title="Sigma-álgebra"><span style="color: #0645ad;">σ-álgebra</span></a> de subconjuntos del <a href="http://www.blogger.com/wiki/Espacio_muestral" title="Espacio muestral"><span style="color: #0645ad;">espacio muestral</span></a>, siendo los subconjuntos miembros de la σ-álgebra los sucesos y definida de tal manera que la medida del total sea 1. Tal <a href="http://www.blogger.com/wiki/Teor%C3%ADa_de_la_medida" title="Teoría de la medida"><span style="color: #0645ad;">medida</span></a>, gracias a su definición matemática, verifica igualmente los tres axiomas de Kolmogórov. A la terna formada por el espacio muestral, la σ-álgebra y la función de probabilidad se la denomina <b>Espacio probabilístico</b>, esto es, un "espacio de sucesos" (el <a href="http://www.blogger.com/wiki/Espacio_muestral" title="Espacio muestral"><span style="color: #0645ad;">espacio muestral</span></a>) en el que se han definido los posibles sucesos a considerar (la σ-álgebra) y la probabilidad de cada suceso (la función de probabilidad).<br />
<h2><span style="font-size: small;"> <span class="mw-headline" id="Propiedades_que_se_deducen_de_los_axiomas">Propiedades que se deducen de los axiomas</span></span></h2>De los axiomas anteriores se deducen otras propiedades de la probabilidad:<br />
<ol><li><img alt=" P(\varnothing)=0" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/1/1/7/117cd50163316133565afa8cf56f09de.png" /> donde el conjunto vacío <img alt="(\varnothing)" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/3/c/3/3c3c8ee4095b3337562dd50e618f8e6f.png" /> representa en probabilidad el <b>suceso imposible</b></li>
<li>Para cualquier suceso <img alt=" P(A) \leq 1 " class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/4/3/8/43885a0a33abeac46762a90c12f1b2f0.png" /></li>
<li><img alt=" P(A^c)=1-P(A)\;\!" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/8/7/c/87c6b75a55950774af2234b767e1dc48.png" /></li>
<li>Si <img alt=" A \subseteq B" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/1/d/6/1d692925920a6f5ff7d9b834b166debc.png" /> entonces <img alt="P(A) \leq P(B)" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/9/1/5/915b79b6127c97d8078fcc4970176027.png" /></li>
<li><img alt=" P(A \cup B)= P(A) + P(B) - P(A \cap B)" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/3/3/0/330f93fe8ccc450d0a84f92189ebca2e.png" /></li>
</ol><h2><span style="font-size: small;"> <span class="mw-headline" id="Ejemplos">Ejemplos</span></span></h2>Como ejemplo se puede tomar como <a href="http://www.blogger.com/wiki/Espacio_muestral" title="Espacio muestral"><span style="color: #0645ad;">espacio muestral</span></a> a los posibles resultados al arrojar un dado corriente <img alt="\Omega = \left \{ 1, 2, 3, 4, 5, 6 \right \} " class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/2/7/5/2751d96159b88d72a828abbe38c6aba4.png" />, tomaremos como σ-álgebra todos los subconjuntos posibles de Ω (que en matemáticas se denota por <img alt="\mathcal {P}(\Omega)" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/1/4/1/1417092aa9dc0566d05f893e553aac0e.png" />) y como función de probabilidad<br />
<center><img alt=" P(A)= \frac {\# A} {6}
" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/7/c/9/7c9245f23d6614dfe8845df2d5f8acc3.png" /></center>donde <img alt="\# A" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/3/5/f/35fb675587e9b6c71bcc9d5362bda439.png" /> representa el número de elementos del conjunto <span class="texhtml"><i><span style="font-family: Batang;">A</span></i></span>.<br />
Es fácil comprobar que esta función verifica los tres axiomas de <a href="http://www.blogger.com/wiki/Andr%C3%A9i_Kolmog%C3%B3rov" title="Andréi Kolmogórov"><span style="color: #0645ad;">Kolmogórov</span></a> y, por tanto, consituye una probabilidad sobre este conjunto.<br />
<ol><li><img alt=" P(A)= \frac {\# A} {6} \geq 0" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/a/d/5/ad515e35b9882bc5da2794044e0f27ca.png" />, puesto que es el cociente de dos números positivos</li>
<li><img alt=" P(\Omega)=P \left ( \left \{ 1, 2, 3, 4, 5, 6 \right \} \right )= \frac { \# \left \{ 1, 2, 3, 4, 5, 6 \right \} } {6} = \frac {6} {6} = 1 " class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/e/8/9/e8995b951095951df0f74d87d565e600.png" /></li>
<li>Si <img alt=" A= A_1 \cup A_2 \cup A_3 \cup \cdots" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/c/7/1/c719fef3402fb2cbf5847a7452baa334.png" /> de tal manera que <img alt=" A_i \cap A_j = \varnothing \quad \forall i \ne j" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/4/0/1/4018ff9078789f2254a809e5d320744a.png" /> entonces</li>
</ol><dl><dd><img alt="
\# A = \# A_1 + \# A_2 + \# A_3 + \cdots
" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/0/5/b/05b845ee223ef52fb33212ab68fbb986.png" /></dd></dl><dl><dd>
<dl><dd>con lo que <img alt="P(A)=\sum P(A_i)" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/4/6/8/4684a771b9a4ce9ca99d0a8439284f49.png" /></dd></dl></dd></dl></span>Equipo de Derecho Mercantilhttp://www.blogger.com/profile/09944509771760487610noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-3040259267387629809.post-26986829452198787672010-09-25T08:29:00.000-07:002010-09-25T09:51:52.421-07:00COMBINACIONES Y PERMUTACIONES.<h3 class="post-title entry-title" style="color: black;"><span style="color: blue; font-size: small;">P E R M U T A C I O N E S</span></h3><div class="post-body entry-content">El número de permutaciones de n objetos es el número de formas en los que pueden acomodarse esos objetos en términos de orden. <br />
<br />
<b><span style="color: yellow;"><span style="color: #3d85c6;">Permutaciones En n Objetos</span> </span></b><br />
<br />
Permutaciones de n elementos tomando n a la vez es igual a: <br />
nPn = n! = (n) x (n-1) x… x (2) x (1) <br />
<br />
Ejemplo <br />
<div style="text-align: justify;">Los cinco individuos que componen la dirección de una pequeña empresa manufacturera serán sentados juntos en un banquete. Determinar el número de diferentes posiciones posibles de los asientos para los cinco individuos. </div><br />
Solución <br />
n Pn = n! = 5! = (5)(4)(3)(2)(1) = 120 <br />
Permutaciones En Subgrupo De n Objetos <br />
El número de permutaciones de n objetos tomados r a la vez, donde r es menor que n es igual a: <br />
<br />
<div style="text-align: center;"><span style="background-color: cyan; color: black;">nPr = n!</span></div><br />
<div style="text-align: center;"> </div><div style="text-align: center;"><span style="color: blue;"><b>COMBINACIÓN</b></span></div><div style="text-align: justify;">Como ya se mencionó anteriormente, una combinación, es un arreglo de elementos en donde no nos interesa el lugar o posición que ocupan los mismos dentro del arreglo. En una combinación nos interesa formar grupos y el contenido de los mismos.</div><br />
<br />
<br />
<br />
La fórmula para determinar el número de combinaciones es:<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhQ_Ba8wicbG90HkAtzeAQnmZWvbSVv76y55CMGkUn-DP_TPoKE6G8S2SEsjDwANBtn6EjUCK5hZmB0IbNajqbW6YTuw6xVfEMLUDs3AEAKcCGMaATSgi_AsC0kWLfAQgY_avDRkOo9CjQ/s1600-h/formula+de+combinacion.jpg" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" sr="true" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhQ_Ba8wicbG90HkAtzeAQnmZWvbSVv76y55CMGkUn-DP_TPoKE6G8S2SEsjDwANBtn6EjUCK5hZmB0IbNajqbW6YTuw6xVfEMLUDs3AEAKcCGMaATSgi_AsC0kWLfAQgY_avDRkOo9CjQ/s320/formula+de+combinacion.jpg" /></a></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">nCr = Combinaciones de r objetos tomados de entre n objetos</div><br />
Donde se observa que,<br />
<br />
<div style="text-align: justify;">La expresión anterior nos explica como las combinaciones de r objetos tomados de entre n objetos pueden ser obtenidas a partir de las permutaciones de r objetos tomados de entre n objetos, esto se debe a que como en las combinaciones no nos importa el orden de los objetos, entonces si tenemos las permutaciones de esos objetos al dividirlas entre r!, les estamos quitando el orden y por tanto transformándolas en combinaciones, de otra forma, también si deseamos calcular permutaciones y tenemos las combinaciones, simplemente con multiplicar estas por el r! obtendremos las permutaciones requeridas.</div><div style="text-align: justify;"><br />
</div>Ejemplos:<br />
<br />
<div style="text-align: justify;">1) a. Si se cuenta con 14 alumnos que desean colaborar en una campaña pro limpieza del Tec, cuantos grupos de limpieza podrán formarse si se desea que consten de 5 alumnos cada uno de ellos, b.si entre los 14 alumnos hay 8 mujeres, ¿cuantos de los grupos de limpieza tendrán a 3 mujeres?, c.¿cuántos de los grupos de limpieza contarán con 4 hombres por lo menos?</div><br />
Solución:<br />
<br />
a. n = 14, r = 5<br />
<br />
14C5 = 14! / (14 – 5 )!5! = 14! / 9!5!<br />
<br />
<br />
= 14 x 13 x 12 x 11 x 10 x 9!/ 9!5!<br />
<br />
= 2002 grupos</div>Equipo de Derecho Mercantilhttp://www.blogger.com/profile/09944509771760487610noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-3040259267387629809.post-77270271006447174162010-09-25T08:24:00.000-07:002010-09-25T08:47:01.994-07:00CALCULO DE PROBABILIDAD (ESPACIO MUESTRAL Y SUCESOS)<span style="font-family: inherit;">• La expansión del cultivo de soja en la Argentina es objeto de una fuerte controversia entre quienes aprecian las ventajas económicas actuales de dicha expansión y quienes alertan sobre problemas de contaminación ambiental, de empobrecimiento cultural y de fragilidad de la economía asociados con ella. En parte, los problemas mencionados son característicos del <i>monocultivo</i> y ya han ocurrido en regiones donde el cultivo hegemónico era otro. </span><br />
<div class="margin_left_10"><span style="font-family: inherit;">• Nuestro problema será encontrar una manera para evaluar en qué medida la adopción del cultivo de soja está asociada con la práctica del monocultivo a partir de los datos de una encuesta en la cual se registran los cultivos realizados en los diferentes establecimientos agrícolas de un área determinada. Para ello utilizaremos las herramientas conceptuales y metodológicas que la estadística provee para realizar una evaluación de este tipo.</span></div><h1><span style="font-family: inherit; font-size: small;">Problema (<i>datos ficticios</i>)</span></h1><span style="font-family: inherit;">En un estudio de la actividad agrícola en un partido de la Pampa Ondulada se registraron los cultivos estivales de cosecha realizados en la última campaña en 100 establecimientos elegidos al azar dentro del partido. La planilla que llevaban los encuestadores permitía registrar las siguientes opciones: Maíz, Girasol, Sorgo, Soja, Cártamo. Entre los resultados de la encuesta se encontró que en 90 de los 100 establecimientos relevados se había cultivado soja y que, en 40 de ellos, la soja era el único cultivo estival; además, 2 establecimientos realizaron otro tipo de monocultura (<i>datos ficticios</i>).</span><br />
<div class="margin_left_10"><span style="font-family: inherit;">• Identificar la población bajo estudio.</span></div><div class="margin_left_10"><span style="font-family: inherit;">• Identificar la muestra.</span></div><div class="margin_left_10"><span style="font-family: inherit;">• Detallar las 31 diferentes posibilidades para la lista de los cultivos realizados en un establecimiento (los 31 eventos simples que componen el espacio muestral).</span></div><div class="margin_left_10"><span style="font-family: inherit;">• Indicar cuáles eventos simples componen los siguientes eventos compuestos:</span></div><div class="margin_left_15"><span style="font-family: inherit;">• "en el establecimiento se cultivó soja"</span></div><div class="margin_left_15"><span style="font-family: inherit;">• "en el establecimiento de cultivó maíz y girasol"</span></div><div class="margin_left_15"><span style="font-family: inherit;">• "el establecimiento realizó un único cultivo estival"</span></div><div class="margin_left_15"><span style="font-family: inherit;">• "en el establecimiento se realizaron más de 3 cultivos diferentes"</span></div><h1><span style="font-family: inherit; font-size: small;">DEFINICIONES</span></h1><div class="margin_left_10"><span style="font-family: inherit;">• Probabilidad: Es un valor comprendido entre 0 y 1, incluidos estos dos valores, que describe la posibilidad de ocurrencia de un evento.</span></div><div class="margin_left_10"><span style="font-family: inherit;">• Experimento: Cualquier proceso que produce un resultado.</span></div><div class="margin_left_15"><span style="font-family: inherit;">• Determinístico: Ante la repetición del mismo se obtiene siempre el mismo resultado.</span></div><div class="margin_left_15"><span style="font-family: inherit;">• Aleatorio: Repitiendo el experimento en idénticas condiciones se obtienen distintos resultados.</span></div><div class="margin_left_10"><span style="font-family: inherit;">• Punto muestral ó Resultado: Es un resultado particular de un experimento.</span></div><div class="margin_left_10"><span style="font-family: inherit;">• Evento: Es una colección de uno o mas resultados de un experimento.</span></div><h1><span style="font-family: inherit; font-size: small;">DEFINICIONES EVENTO O SUCESO ALEATORIO</span></h1><div class="margin_left_10"><span style="font-family: inherit;">• Evento o Suceso Aleatorio: Es una colección de uno o mas resultados de un experimento.</span></div><div class="margin_left_15"><span style="font-family: inherit;">• E1 = Sacar un 5 al tirar un dado</span></div><div class="margin_left_15"><span style="font-family: inherit;">• E2 = Sacar un número par al tirar un dado.</span></div><div class="margin_left_15"><span style="font-family: inherit;">• E3 = Sacar un número menor que 7 al tirar un dado = EVENTO CIERTO</span></div><div class="margin_left_15"><span style="font-family: inherit;">• E4 = Sacar un número mayor que 6 al tirar un dado = EVENTO IMPOSIBLE</span></div><h1><span style="font-family: inherit; font-size: small;">DEFINICIONES SUCESOS COMPUESTOS</span></h1><div class="margin_left_10"><span style="font-family: inherit;">• Sucesos mutuamente excluyentes:</span></div><div class="margin_left_15"><span style="font-family: inherit;">• Dos sucesos A y B son mutuamente excluyentes cuando la ocurrencia de uno de ellos impide la ocurrencia del otro.</span></div><div class="margin_left_15"><span style="font-family: inherit;">• P(AÇB) = P(AyB) = P(AB) = 0</span></div><div class="margin_left_10"><span style="font-family: inherit;">• Sucesos colectivamente exhaustivos</span></div><div class="margin_left_15"><span style="font-family: inherit;">• Dos sucesos A y B son colectivamente exhaustivos cuando al menos uno de ellos deba ocurrir siempre que se realiza el experimento.</span></div><div class="margin_left_15"><span style="font-family: inherit;">• Dicho en otras palabras, deberá cumplirse que la suma de las probabilidades de todos los sucesos deberá ser igual a 1.</span></div><h1><span style="font-family: inherit; font-size: small;">DEFINICIONES ESPACIO MUESTRAL</span></h1><div class="margin_left_10"><span style="font-family: inherit;">• Espacio muestral: <b>Es el conjunto de todos los posibles resultados de un experimento. </b></span></div><div class="margin_left_10"><span style="font-family: inherit;">• Suele representarse con la letra S. Puede visualizarse a través de</span></div><div class="margin_left_15"><span style="font-family: inherit;">• <b>Listas</b></span></div><div class="margin_left_20"><span style="font-family: inherit;">- Conjunto de posibles resultados al tirar un dado = {1;2;3;4;5;6}</span></div><div class="margin_left_15"><span style="font-family: inherit;">• <b>Diagramas de arbol</b></span></div><div class="margin_left_20"><span style="font-family: inherit;">- Conjunto de posibles resultados al tirar dos monedas</span></div><span style="font-family: inherit;"><br />
</span><br />
<table border="0" cellpadding="2" cellspacing="0" id="table1"><tbody>
<tr><td></td><td></td><td><span style="font-family: inherit;">C</span></td></tr>
<tr><td><span style="font-family: inherit;">C</span></td><td><span style="font-family: inherit; font-size: 16px; font-weight: bold;">á</span></td><td></td></tr>
<tr><td></td><td></td><td><span style="font-family: inherit;">S</span></td></tr>
<tr><td></td><td></td><td><span style="font-family: inherit;">C</span></td></tr>
<tr><td><span style="font-family: inherit;">S</span></td><td><span style="font-family: inherit; font-size: 16px; font-weight: bold;">á</span></td><td></td></tr>
<tr><td></td><td></td><td><span style="font-family: inherit;">S</span></td></tr>
</tbody></table><span style="font-family: inherit;"><br />
</span><br />
<div class="margin_left_15"><span style="font-family: inherit;">• <b>Tablas rejilla</b></span></div><div class="margin_left_20"><span style="font-family: inherit;">- Conjunto de posibles resultados al tirar un dado rojo y uno azul</span></div><span style="font-family: inherit;"><br />
</span><br />
<table border="0" cellpadding="0" cellspacing="0" style="border-collapse: collapse;"><tbody>
<tr><td class="matleft"></td><td><span style="font-family: inherit;">11</span><br />
<span style="font-family: inherit;">12</span><br />
<span style="font-family: inherit;">13</span><br />
<span style="font-family: inherit;">14</span><br />
<span style="font-family: inherit;">15</span><br />
<span style="font-family: inherit;">16</span></td><td><span style="font-family: inherit;">21</span><br />
<span style="font-family: inherit;">22</span><br />
<span style="font-family: inherit;">23</span><br />
<span style="font-family: inherit;">24</span><br />
<span style="font-family: inherit;">25</span><br />
<span style="font-family: inherit;">26</span></td><td><span style="font-family: inherit;">31</span><br />
<span style="font-family: inherit;">32</span><br />
<span style="font-family: inherit;">33</span><br />
<span style="font-family: inherit;">34</span><br />
<span style="font-family: inherit;">35</span><br />
<span style="font-family: inherit;">36</span></td><td><span style="font-family: inherit;">41</span><br />
<span style="font-family: inherit;">42</span><br />
<span style="font-family: inherit;">43</span><br />
<span style="font-family: inherit;">44</span><br />
<span style="font-family: inherit;">45</span><br />
<span style="font-family: inherit;">46</span></td><td><span style="font-family: inherit;">51</span><br />
<span style="font-family: inherit;">52</span><br />
<span style="font-family: inherit;">53</span><br />
<span style="font-family: inherit;">54</span><br />
<span style="font-family: inherit;">55</span><br />
<span style="font-family: inherit;">56</span></td><td><span style="font-family: inherit;">61</span><br />
<span style="font-family: inherit;">62</span><br />
<span style="font-family: inherit;">63</span><br />
<span style="font-family: inherit;">64</span><br />
<span style="font-family: inherit;">65</span><br />
<span style="font-family: inherit;">66</span></td><td class="matright"></td></tr>
</tbody></table><span style="font-family: inherit;"><br />
</span><br />
<div class="margin_left_15"><span style="font-family: inherit;">• <b>Conjuntos (Diagramas de Venn)</b></span></div><div class="margin_left_20"><span style="font-family: inherit;">- Se pretende representar a las mujeres, a los universitarios pero es necesario tener en cuenta que existen mujeres universitarias.</span><br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEg9Lp7eOJKr1Yoen5pBEZR_pPNRcj_gubADQbOJ3jahm3_7bqUF912rmSSU-lZ6hwdugoA7nldb-LntaOq9XCsfOf0wlE9NJuqixAF_tFPJ2by67rF7MX1N9YkBrjiXUjjZEoyAnzamGkM/s1600/untitled.bmp" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" height="200" px="true" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEg9Lp7eOJKr1Yoen5pBEZR_pPNRcj_gubADQbOJ3jahm3_7bqUF912rmSSU-lZ6hwdugoA7nldb-LntaOq9XCsfOf0wlE9NJuqixAF_tFPJ2by67rF7MX1N9YkBrjiXUjjZEoyAnzamGkM/s320/untitled.bmp" width="320" /></a></div></div><br />
<div class="margin_left_15"><span style="font-family: inherit;">• <b>Tablas de doble entrada</b></span></div><div class="margin_left_20"><span style="font-family: inherit;">- Cuando se tienen dos o mas variables con dos o mas categorías cada una, por ejemplo hombres y mujeres, Ingenieros Agrónomos y Licenciados en Economía y Administración Agraria.</span></div><span style="font-family: inherit;"><br />
</span><br />
<span style="font-family: inherit;"><br />
</span><br />
<table border="0" cellpadding="2" cellspacing="0" style="border-collapse: collapse;"><tbody>
<tr align="center"><td width="30"></td><td class="bottom" width="100"><span style="font-family: inherit;">Ingenieros Agrónomos</span></td><td class="bottom" width="100"><span style="font-family: inherit;">Licenciados en Economía y Administración</span></td><td width="30"></td></tr>
<tr align="center"><td><span style="font-family: inherit;">M</span></td><td class="left"><span style="font-family: inherit;">40</span></td><td><span style="font-family: inherit;">25</span></td><td class="left"><span style="font-family: inherit;">65</span></td></tr>
<tr align="center"><td><span style="font-family: inherit;">H</span></td><td class="bottomleft"><span style="font-family: inherit;">60</span></td><td class="bottom"><span style="font-family: inherit;">30</span></td><td class="left"><span style="font-family: inherit;">90</span></td></tr>
<tr align="center"><td></td><td><span style="font-family: inherit;">100</span></td><td><span style="font-family: inherit;">55</span></td><td><span style="font-family: inherit;">155</span></td></tr>
</tbody></table><span style="font-family: inherit;"><br />
</span><br />
<span style="font-family: inherit;">Recordemos cuales son los totales marginales y el gran total.</span><br />
<h1><span style="font-family: inherit; font-size: small;">DEFINICIONES DE PROBABILIDAD</span></h1><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhgCJwS8CRBraAWUPv44quI5pSjtuQs7M1bUeEahmn9EFYnB2xigimJA7FzMGGPCEGYfcOXoh5lD-jzWJMA6ZNtKebg9kKdvTLLnnJ1QJzcTmdm0BMsw2lRQDqpQ-GrzLsLhhW9ht-1Z-8/s1600/PPIP.bmp" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" height="177" px="true" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhgCJwS8CRBraAWUPv44quI5pSjtuQs7M1bUeEahmn9EFYnB2xigimJA7FzMGGPCEGYfcOXoh5lD-jzWJMA6ZNtKebg9kKdvTLLnnJ1QJzcTmdm0BMsw2lRQDqpQ-GrzLsLhhW9ht-1Z-8/s320/PPIP.bmp" width="320" /></a></div><br />
<h1><span style="font-family: inherit; font-size: small;">DEFINICION CLASICA</span></h1><div class="margin_left_10"><span style="font-family: inherit;">• Se basa en que todos los resultados son</span></div><div class="margin_left_15"><span style="font-family: inherit;">• igualmente probables o equiprobables.</span></div><div class="margin_left_15"><span style="font-family: inherit;">• Mutuamente excluyentes</span></div><div class="margin_left_15"><span style="font-family: inherit;">• Colectivamente exhaustivos</span></div><span style="font-family: inherit;"><br />
</span><br />
<table border="0" cellpadding="0" cellspacing="0" style="border-collapse: collapse;"><tbody>
<tr><td class="align_right" rowspan="2"><h1><span style="font-family: inherit; font-size: small;">Probabilidad de un evento = </span></h1></td><td class="bottom"><h1><span style="font-family: inherit; font-size: small;">Número de resultados favorables</span></h1></td></tr>
<tr><td><h1><span style="font-family: inherit; font-size: small;">Número de resultados posibles</span></h1></td></tr>
</tbody></table><span style="font-family: inherit;"><br />
</span><br />
<h1><span style="font-family: inherit; font-size: small;">DEFINICION FRECUENCIAL</span></h1><div class="margin_left_10"><span style="font-family: inherit;">• Cuando los resultados no son equiprobables la probabilidad de ocurrencia de un evento se determina por observación del número de veces que eventos similares ocurrieron en el pasado. (frecuencia relativa)</span></div><span style="font-family: inherit;"><br />
</span><br />
<table border="0" cellpadding="0" cellspacing="0" style="border-collapse: collapse;"><tbody>
<tr><td class="align_right" rowspan="2"><h1><span style="font-family: inherit; font-size: small;">Probabilidad de un evento = </span></h1></td><td class="bottom"><h1><span style="font-family: inherit; font-size: small;">Número de veces que el evento ocurrió en el pasado</span></h1></td></tr>
<tr><td><h1><span style="font-family: inherit; font-size: small;">Número de observaciones</span></h1></td></tr>
</tbody></table><span style="font-family: inherit;"><br />
</span><br />
<h1><span style="font-family: inherit; font-size: small;">Ejemplo:</span></h1><span style="font-family: inherit;">Sea el experimento de estudiar una droga que cura cierta enfermedad en vacunos enfermos. Se aplicó a 1000 vacunos y se curaron 700.</span><br />
<div class="margin_left_10"><span style="font-family: inherit;">• El espacio muestral será S = {curado; no curado}</span></div><div class="margin_left_10"><span style="font-family: inherit;">• Consideremos el evento de que el vacuno se cure.</span></div><div class="margin_left_10"><span style="font-family: inherit;">• Probabilidad de curado = 700/1000 = 0,7</span></div><h1><span style="font-family: inherit; font-size: small;">DEFINICION SUBJETIVA</span></h1><div class="margin_left_10"><span style="font-family: inherit;">• Cuando no se tienen datos para ningún tipo de cálculo, ni posibilidad de efectuar repetidamente el experimento, se recurre a un experto, quien de acuerdo a su buen saber y entender estimará la probabilidad.</span></div><h1><span style="font-family: inherit; font-size: small;">Ejemplos:</span></h1><div class="margin_left_10"><span style="font-family: inherit;">• Calcular la probabilidad de que un tenista gane un campeonato</span></div><div class="margin_left_10"><span style="font-family: inherit;">• Calcular la probabilidad de que un club de futbol salga campeón</span></div><div class="margin_left_10"><span style="font-family: inherit;">• Calcular la probabilidad de que el precio de las acciones de una compañía se incremente en dos años.</span></div><h1><span style="font-family: inherit; font-size: small;">AXIOMAS DE PROBABILIDADES</span></h1><div class="margin_left_10"><span style="font-family: inherit;">• Independientemente de que definición de probabilidad utilicemos, siempre se deberán cumplir los siguientes tres axiomas.</span></div><h1><span style="font-family: inherit; font-size: small;">Axiomas:</span></h1><div class="margin_left_10"><span style="font-family: inherit;">• Axioma 1: La probabilidad de un evento existe y es un número mayor o igual a cero</span></div><span style="font-family: inherit;">0 ≤ P(A)</span><br />
<div class="margin_left_10"><span style="font-family: inherit;">• Axioma 2: La probabilidad de todo el espacio muestral es 1.</span></div><span style="font-family: inherit;">P(S) = 1</span><br />
<div class="margin_left_10"><span style="font-family: inherit;">• Axioma 3: Si dos eventos A y B son mutuamente excluyentes</span></div><span style="font-family: inherit;">P(AÈB) = P(A) + P(B)</span><br />
<h1><span style="font-family: inherit; font-size: small;">CONSECUENCIAS DE LOS AXIOMAS DE PROBABILIDADES</span></h1><span style="font-family: inherit;">P(Φ) = 0</span><br />
<span style="font-family: inherit;">Si Ā = suceso complementario de A es decir Ā = S - A, será P(Ā) = 1 - P(A)</span><br />
<span style="font-family: inherit;">Si A1ÌA2, entonces P(A1) ≤ P(A2)</span><br />
<span style="font-family: inherit;">" A se cumple que P(A) ≤ 1</span><br />
<h1><span style="font-family: inherit; font-size: small;">REGLA GENERAL DE LA SUMA</span></h1><div class="margin_left_10"><span style="font-family: inherit;">• Si A y B son dos sucesos no mutuamente excluyentes, luego la probabilidad de la unión entre ambos está dada por la siguiente fórmula.</span></div><span style="font-family: inherit;">P(A È B) = P(A) + P(B) - P(A Ç B)</span><br />
<span style="font-family: inherit;"><br />
</span><br />
<table border="0" cellpadding="2" cellspacing="0" id="table2"><tbody>
<tr align="center"><td height="50" width="150"></td><td bgcolor="#000000" width="100"></td><td bgcolor="#000000" rowspan="2" width="150"><span class="colorFFFFFF" style="font-family: inherit;">B</span></td></tr>
<tr align="center"><td bgcolor="#ccccff" rowspan="2"><span class="colorFFFFFF" style="font-family: inherit;">A</span></td><td bgcolor="#0000ff" height="50" style="border-bottom: #ffffff 2px solid; border-left: #ffffff 2px solid; border-right: #ffffff 2px solid; border-top: #ffffff 2px solid;"><span class="colorFFFFFF" style="font-family: inherit;">A y B</span></td></tr>
<tr align="center"><td bgcolor="#ccccff" height="50"></td><td></td></tr>
</tbody></table><span style="font-family: inherit;"><br />
</span><br />
<span style="font-family: inherit;"><br />
</span><br />
<div class="margin_left_10"><span style="font-family: inherit;">• Si A y B son dos sucesos mutuamente excluyentes, se cumple:</span></div><span style="font-family: inherit;">P(A È B) = P(A) + P(B)</span><br />
<h1><span style="font-family: inherit; font-size: small;">Ejemplo:</span></h1><span style="font-family: inherit;">Un experimento genera un espacio muestral que contiene ocho sucesos E1,...,E8 con p(Ei) = 1/8, i = 1,...,8. Los sucesos A y B se definen así:</span><br />
<span style="font-family: inherit;">A = {E1,E4,E6}</span><br />
<span style="font-family: inherit;">B = {E3,E4,E5,E6,E7}</span><br />
<span style="font-family: inherit;">Encuentre:</span><br />
<span style="font-family: inherit;">(a) P(A)</span><br />
<span style="font-family: inherit;">(b) P(Ā)</span><br />
<span style="font-family: inherit;">(c) P(A È B)</span><br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgmVMKcN1eig8uaqKOloZ2Csspvvg8J2EQ8EalhX_m_3dPWFSXdfRisnyM5o_hqOF_JMuAFIDn-CTbH4UzEp1gIKdF8PIbaV0nZU3AOfNBsuSVi9-Hjlvx_-ACpCiMIMlZkwRRA4Ij7Vhg/s1600/0J9JJ0.bmp" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" height="227" px="true" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgmVMKcN1eig8uaqKOloZ2Csspvvg8J2EQ8EalhX_m_3dPWFSXdfRisnyM5o_hqOF_JMuAFIDn-CTbH4UzEp1gIKdF8PIbaV0nZU3AOfNBsuSVi9-Hjlvx_-ACpCiMIMlZkwRRA4Ij7Vhg/s320/0J9JJ0.bmp" width="320" /></a></div><br />
<span style="font-family: inherit;">a) P(A) = 3/8</span><br />
<span style="font-family: inherit;">(b) P(Ā) = 5/8</span><br />
<span style="font-family: inherit;">(c) P(A U B) = P(A) + P(B) - P(AÇB)</span><br />
<span style="font-family: inherit;">P(A U B) = 3/8 + 5/8 - 2/8 = 6/8 = 0,75</span><br />
<span style="font-family: inherit;">resultado que es muy fácil verificar visualmente en el diagrama.</span><br />
<h1><span style="font-family: inherit; font-size: small;">INDEPENDENCIA</span></h1><div class="margin_left_10"><span style="font-family: inherit;">• Dos eventos A y B son independientes cuando se cumple que la probabilidad conjunta es igual al producto de las probabilidades marginales.</span></div><h1 class="align_center"><span style="font-family: inherit; font-size: small;">P(A Ç B) = P(A)*P(B)</span></h1><h1><span style="font-family: inherit; font-size: small;">PROBABILIDAD CONDICIONAL</span></h1><div class="margin_left_10"><span style="font-family: inherit;">• Probabilidad Condicional es la probabilidad de ocurrencia de un evento en particular, dado que otro evento ha ocurrido. La probabilidad condicional de el evento A dado que el evento B ha ocurrido se escribe P(A|B).</span></div><h1><span style="font-family: inherit; font-size: small;">REGLA GENERAL DEL PRODUCTO</span></h1><div class="margin_left_10"><span style="font-family: inherit;">• Dados dos eventos A y B la probabilidad conjunta de que ambos sucedan se calcula según la siguiente fórmula:</span></div><span style="font-family: inherit;">P(A Ç B) = P(A)*P(B|A) = P(B Ç A) = P(B)*P(A|B)</span><br />
<div class="margin_left_10"><span style="font-family: inherit;">• Si los eventos A y B son independientes la probabilidad conjunta de que ambos sucedan se calcula según la siguiente fórmula:</span></div><span style="font-family: inherit;">P(A Ç B) = P(B Ç A) = P(A)*P(B) = P(B)*P(A)</span><br />
<h1><span style="font-family: inherit; font-size: small;">Ejemplo:</span></h1><span style="font-family: inherit;">Un experimento genera un espacio muestral que contiene ocho sucesos E1,...,E8 con p(Ei) = 1/8, i = 1,...,8. Los sucesos A y B se definen así:</span><br />
<span style="font-family: inherit;">A = {E1,E4,E6}</span><br />
<span style="font-family: inherit;">B = {E3,E4,E5,E6,E7}</span><br />
<h2><span style="font-family: inherit; font-size: small;">Resolver:</span></h2><span style="font-family: inherit;">(a) ¿Son los sucesos A y B mutuamente excluyentes? ¿Por qué?</span><br />
<span style="font-family: inherit;">(b) ¿Son los sucesos A y B independientes? ¿Por qué?</span><br />
<span style="font-family: inherit;">(c) P(AÇB)</span><br />
<span style="font-family: inherit;">(d) P(A/B)</span><br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhTnEpafTl1QwG4el6-QDs_g6WZvWjNhvYeyshnkT4UEVoj6EWPZPwpLLvndg5cvPbE0sCNlvdT4ge0hyIYMCo1nsOme3T_KUawF1QifiL-Ak7G-F8SLrYZWb8WrICNamQBOntg53rmoao/s1600/0JYK,.bmp" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" height="178" px="true" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhTnEpafTl1QwG4el6-QDs_g6WZvWjNhvYeyshnkT4UEVoj6EWPZPwpLLvndg5cvPbE0sCNlvdT4ge0hyIYMCo1nsOme3T_KUawF1QifiL-Ak7G-F8SLrYZWb8WrICNamQBOntg53rmoao/s320/0JYK,.bmp" width="320" /></a></div><br />
<span style="font-family: inherit;">(a) No, porque AÇB ≠ 0</span><br />
<span style="font-family: inherit;">(b) No, porque P(A)*P(B) ≠ P(AÇB)</span><br />
<span style="font-family: inherit;">3/8 * 5/8 ≠ 2/8</span><br />
<span style="font-family: inherit;">(c) P(AÇB) = 2/8 = 0,25</span><br />
<span style="font-family: inherit;">(d) P(A/B) = P(AÇB) / P(B) = (2/8) / (5/8) = 2/5</span><br />
<span style="font-family: inherit;">Esto puede verse en el diagrama, ya que saber que B ocurrió, reduce nuestro espacio muestral a los cinco elementos de B. Y de ellos, sólo dos pertenecen a A.</span><br />
<h1><span style="font-family: inherit; font-size: small;">PROBLEMAS A RESOLVER</span></h1><span style="font-family: inherit;"><b>1)</b> Dos candidatos a los consejos de administración A y B, compiten por el control de una corporación. Las probabilidades de ganar de estos candidatos son 0,7 y 0,3, respectivamente. Si gana A, la probabilidad de introducir un nuevo producto es 0,8; si gana B, la correspondiente probabilidad es 0,4. Demuestre que, antes de las elecciones, la probabilidad de que sea introducido un nuevo producto es 0,68.</span><br />
<span style="font-family: inherit;"><b><i>Sugerencias</i></b><i>: Recordar probabilidad condicional y probabilidad conjunta Considerar todo el espacio muestral</i></span><br />
<span style="font-family: inherit;">Datos:</span><br />
<span style="font-family: inherit;">P(A) = 0,7</span><br />
<span style="font-family: inherit;">P(N/A) = 0,8</span><br />
<span style="font-family: inherit;">P(B) = 0,3</span><br />
<span style="font-family: inherit;">P(N/B) = 0,4</span><br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjd_vwh71zoqZLqaONC1_AbrLTE6lSDzdZI4Uwxs5B5NexbDyyPW1kOao4WcYM8fplcs3Ix5tzg_WhCFriX3SxqI5gXeiETV8CEOXqd0A_bejnLr9AYXvvLI3l7FF63L6IAYAjWaAZWX2Y/s1600/ESDRFGH.bmp" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" height="232" px="true" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjd_vwh71zoqZLqaONC1_AbrLTE6lSDzdZI4Uwxs5B5NexbDyyPW1kOao4WcYM8fplcs3Ix5tzg_WhCFriX3SxqI5gXeiETV8CEOXqd0A_bejnLr9AYXvvLI3l7FF63L6IAYAjWaAZWX2Y/s320/ESDRFGH.bmp" width="320" /></a></div><br />
<span style="font-family: inherit;">Solución:</span><br />
<span style="font-family: inherit;">P(N) = P(NÇA) + P(NÇB)</span><br />
<span style="font-family: inherit;">P(N) = P(N/A)*P(A) + P(N/B)*P(B)</span><br />
<span style="font-family: inherit;"><b>P(N) = </b> 0,8*0,7 + 0,4*0,3 = <b>0,68</b></span><br />
<span style="font-family: inherit;"><b>2)</b> El 34% de los árboles de un bosque tienen más de 15 años. El 54% son de la variedad A. De los de la variedad A, el 7% tiene más de 15 años. Si se elige un árbol al azar,</span><br />
<span style="font-family: inherit;">a) ¿Cuál es la probabilidad de que tenga más de 15 años y sea de la variedad A?</span><br />
<span style="font-family: inherit;">b) ¿Cuál es la probabilidad de que teniendo menos de 15 años, sea de la variedad A?</span><br />
<span style="font-family: inherit;"><b><i>Sugerencias</i></b><i>: Recordar probabilidad condicional y probabilidad conjunta Considerar tablas de contingencia</i></span><br />
<span style="font-family: inherit;"><br />
</span><br />
<table border="0" cellpadding="2" cellspacing="0"><tbody>
<tr align="center"><td width="30"></td><td class="bottom" width="30"><span style="font-family: inherit;">+15</span></td><td class="bottom" width="30"><span style="font-family: inherit;">-15</span></td><td width="30"></td></tr>
<tr align="center"><td><span style="font-family: inherit;">A</span></td><td class="left"><span style="font-family: inherit;">0,0378</span></td><td><span style="font-family: inherit;">0,5022</span></td><td class="left"><span class="rojo" style="font-family: inherit;">0,54</span></td></tr>
<tr align="center"><td><span class="overline" style="font-family: inherit;">A</span></td><td class="bottomleft"><span style="font-family: inherit;">0,3022</span></td><td class="bottom"><span style="font-family: inherit;">0,1578</span></td><td class="left"><span class="rojo" style="font-family: inherit;">0,46</span></td></tr>
<tr align="center"><td></td><td><span class="rojo" style="font-family: inherit;">0,34</span></td><td><span class="rojo" style="font-family: inherit;">0,66</span></td><td><span style="font-family: inherit;">1</span></td></tr>
</tbody></table><span style="font-family: inherit;"><br />
</span><br />
<span style="font-family: inherit;">Solución:</span><br />
<span style="font-family: inherit;">a) <b>P(+15ÇA) = </b> P(+15/A)*P(A) = 0,07*0,54 = <b>0,0378</b></span><br />
<span style="font-family: inherit;">b) <b>P(A/-15) = </b> P(AÇ-15) / P(-15) = 0,5022 / 0,66 = <b>0,76</b></span><br />
<span style="font-family: inherit;"><b>3)</b> El 70% del ganado es inyectado con una vacuna para combatir una enfermedad grave. La probabilidad de recuperarse de la enfermedad es 1 en 20 si no ha habido tratamiento y de 1 en 5 si hubo tratamiento. Si un animal infectada se recupera, ¿cuál es la probabilidad de que haya recibido la vacuna preventiva?</span><br />
<span style="font-family: inherit;"><b><i>Sugerencias</i></b><i>: Recordar probabilidad condicional y probabilidad conjunta Regla del producto.</i></span><br />
<span style="font-family: inherit;">Datos:</span><br />
<span style="font-family: inherit;">P( I ) = 0,7</span><br />
<span style="font-family: inherit;">P( R / I ) = 0,2</span><br />
<span style="font-family: inherit;">P( Ī ) = 0,3</span><br />
<span style="font-family: inherit;">P( R / Ī ) = 0,05</span><br />
<span style="font-family: inherit;">Incógnita:</span><br />
<span style="font-family: inherit;">P( I /R )</span><br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEicFog0HUrjlQsqhd4fmGTyJorFWeLr_jc1eSK3eZcNWwGCiJ9bcgmJQxqwmYpEwJmAcENHAWp9lP1Lfh_5rKpMtek-Z6l_X7Bu2yQavn4XiwuyFoqACAFa2aIrfAAuKnOt2i2y0456PQA/s1600/kok.bmp" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" height="64" px="true" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEicFog0HUrjlQsqhd4fmGTyJorFWeLr_jc1eSK3eZcNWwGCiJ9bcgmJQxqwmYpEwJmAcENHAWp9lP1Lfh_5rKpMtek-Z6l_X7Bu2yQavn4XiwuyFoqACAFa2aIrfAAuKnOt2i2y0456PQA/s320/kok.bmp" width="320" /></a></div>Equipo de Derecho Mercantilhttp://www.blogger.com/profile/09944509771760487610noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-3040259267387629809.post-91770168340060048102010-08-23T18:03:00.000-07:002010-08-26T18:05:04.736-07:00TEORIA DE CONJUNTOSDEFINICION<br />
<br />
La palabra conjunto generalmente la asociamos con la idea de agrupar objetos, por ejemplo un conjunto de discos, de libros, de plantas de cultivo y en otras ocasiones en palabras como hato, rebaño, piara, parcelas, campesinado, familia, etc., es decir la palabra conjunto denota una colección de elementos claramente entre sí, que guardan alguna característica en común. Ya sean números, personas, figuras, ideas y conceptos.<br />
<br />
En matemáticas el concepto de conjunto es considerado primitivo y ni se da una definición de este, sino que se trabaja con la notación de colección y agrupamiento de objetos, lo mismo puede decirse que se consideren primitivas las ideas de elemento y pertenencia.<br />
<br />
La característica esencial de un conjunto es la de estar bien definido, es decir que dado un objeto particular, determinar si este pertenece o no al conjunto. Por ejemplo si se considera el conjunto de los números dígitos, sabemos que el 3 pertenece al conjunto, pero el 19 no. Por otro lado el conjunto de las bellas obras musicales no es un conjunto bien definido, puesto que diferentes personas puedan incluir distintas obras en el conjunto.<br />
<br />
Los objetos que forman un conjunto son llamados miembros o elementos. Por ejemplo el conjunto de las letras de alfabeto; a, b, c, ..., x, y, z. que se puede escribir así:<br />
<br />
{ a, b, c, ..., x, y, z}<br />
<br />
Como se muestra el conjunto se escribe entre llaves ({}) , o separados por comas (,).<br />
<br />
El detallar a todos los elementos de un conjunto entre las llaves, se denomina forma tabular, extensión o enumeración de los elementos.<br />
<br />
Dos conjuntos son iguales si tienen los mismos elementos, por ejemplo:<br />
<br />
El conjunto { a, b, c } también puede escribirse:<br />
<br />
{ a, c, b }, { b, a, c }, { b, c, a }, { c, a, b }, { c, b, a }<br />
<br />
En teoría de conjuntos se acostumbra no repetir a los elementos por ejemplo:<br />
<br />
El conjunto { b, b, b, d, d } simplemente será { b, d }.<br />
<br />
<br />
<br />
MEMBRESIA<br />
<br />
Los conjuntos se denotan por letras mayúsculas : A, B, C,... por ejemplo:<br />
A={ a, c, b }<br />
<br />
B={ primavera, verano, otoño, invierno }<br />
<br />
El símbolo Î indicará que un elemento pertenece o es miembro de un conjunto. Por el contrario para indicar que un elemento no pertenece al conjunto de referencia, bastará cancelarlo con una raya inclinada / quedando el símbolo como Ï .<br />
<br />
Ejemplo:<br />
<br />
Sea B={ a, e, i, o, u }, a Î B y c Ï B<br />
<br />
<br />
<br />
SUBCONJUNTO<br />
<br />
Sean los conjuntos A={ 0, 1, 2, 3, 5, 8 } y B={ 1, 2, 5 }<br />
<br />
En este caso decimos que B esta contenido en A, o que B es subconjunto de A. En general si A y B son dos conjuntos cualesquiera, decimos que B es un subconjunto de A si todo elemento de B lo es de A también.<br />
<br />
Por lo tanto si B es un subconjunto de A se escribe B Ì A. Si B no es subconjunto de A se indicará con una diagonal Ë .<br />
<br />
Note que Î se utiliza solo para elementos de un conjunto y Ì solo para conjuntos.<br />
<br />
<br />
<br />
UNIVERSO O CONJUNTO UNIVERSAL<br />
El conjunto que contiene a todos los elementos a los que se hace referencia recibe el nombre de conjunto Universal, este conjunto depende del problema que se estudia, se denota con la letra U y algunas veces con la letra S (espacio muestral). <br />
<br />
Por ejemplo si solo queremos referirnos a los 5 primeros números naturales el conjunto queda:<br />
<br />
U={ 1, 2, 3, 4, 5 }<br />
<br />
Forma alternativa para indicar conjuntos de gran importancia:<br />
<br />
Conjunto de números naturales (enteros mayores que cero) representados por la letra N donde <br />
<br />
N={ 1, 2, 3, .... }<br />
<br />
Conjunto de números enteros positivos y negativos representados por la letra Z donde <br />
<br />
Z={..., -2, -1, 0, 1, 2, ... }<br />
<br />
Conjunto de números racionales (números que se representan como el cociente de dos números enteros {fracciones }). Estos números se representan por una Q <br />
<br />
Conjunto de números irracionales (números que no puedan representarse como el cociente de dos números enteros) representados por la letra I. <br />
<br />
Conjunto de los números reales que son los números racionales e irracionales es decir todos, representados por R. <br />
<br />
Todos estos conjuntos tienen un número infinito de elementos, la forma de simbolizarlos por extensión o por enumeración es de gran utilidad cuando los conjuntos a los que se hace referencia tienen pocos elementos para poder trabajar con ellos se emplean la notación llamada comprehensión.<br />
<br />
Por ejemplo, la denotar el conjunto de los números naturales menores que 60. Aquí U es el conjunto N y se tiene una propiedad que caracteriza a los elementos del conjunto: ser menores que 60.<br />
<br />
Para indicar esta situación empleamos la simbología del álgebra de conjuntos:<br />
<br />
{ x/x Î N ; x<60 }<br />
<br />
En esta expresión se maneja un conjunto de x que pertenece a los números naturales (N) y además que los valores de x son menores que 60.<br />
<br />
Ahora si se desea trabajar con conjuntos que manejen intervalos estos pueden ser representados por medio de una expresión algebraica; supongamos que se desea expresar los números enteros (Z) entre -20 y 30 el conjunto quedaría de la manera siguiente:<br />
<br />
{ x/x Î Z ; -20 £ x £ 30 }<br />
<br />
También se puede expresar el valor de un conjunto indicando la pertenencia o no pertenencia a uno diferente, por ejemplo <br />
<br />
L={ 1, 3, 4, 6, 9 }<br />
<br />
P={ x/x Î N ; X Ï L }<br />
<br />
En el conjunto P se indica que los elementos x de un conjunto pertenecen a los números naturales y además x no pertenece al conjunto L.<br />
<br />
<br />
OPERACIONES CON CONJUNTOS<br />
<br />
<br />
UNION<br />
<br />
La unión de dos conjuntos A y B la denotaremos por A È B y es el conjunto formado por los elementos que pertenecen al menos a uno de ellos ó a los dos. Lo que se denota por:<br />
<br />
A È B = { x/x Î A ó x Î B } <br />
<br />
Ejemplo: Sean los conjuntos A={ 1, 3, 5, 7, 9 } y B={ 10, 11, 12 }<br />
<br />
A È B ={ 1, 3, 5, 7, 9, 10, 11, 12 }<br />
<br />
<br />
INTERSECCION<br />
<br />
Sean A={ 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9 } y B={ 2, 4, 8, 12 }<br />
<br />
Los elementos comunes a los dos conjuntos son: { 2, 4, 8 }. A este conjunto se le llama intersección de A y B; y se denota por A Ç B, algebraicamente se escribe así:<br />
<br />
A Ç B = { x/x Î A y x Î B }<br />
<br />
Y se lee el conjunto de elementos x que están en A y están en B.<br />
<br />
Ejemplo:<br />
<br />
Sean Q={ a, n, p, y, q, s, r, o, b, k } y P={ l, u, a, o, s, r, b, v, y, z }<br />
<br />
Q Ç P={ a, b, o, r, s, y }<br />
<br />
<br />
<br />
CONJUNTO VACIO<br />
<br />
Un conjunto que no tiene elementos es llamado conjunto vacío ó conjunto nulo lo que denotamos por el símbolo Æ .<br />
<br />
Por ejemplo:<br />
<br />
Sean A={ 2, 4, 6 } y B={ 1, 3, 5, 7 } encontrar A Ç B.<br />
<br />
A Ç B= { }<br />
<br />
El resultado de A Ç B= { } muestra que no hay elementos entre las llaves, si este es el caso se le llamará conjunto vacío ó nulo y se puede representar como: <br />
<br />
A Ç B=Æ <br />
<br />
<br />
CONJUNTOS AJENOS<br />
<br />
Sí la intersección de dos conjuntos es igual al conjunto vacío, entonces a estos conjuntos les llamaremos conjuntos ajenos, es decir:<br />
<br />
Si A Ç B = Æ entonces A y B son ajenos.<br />
<br />
<br />
COMPLEMENTO<br />
El complemento de un conjunto respecto al universo U es el conjunto de elementos de U que no pertenecen a A y se denota como A' y que se representa por comprehensión como:<br />
<br />
A'={ x Î U/x y x Ï A }<br />
<br />
<br />
Ejemplo:<br />
<br />
Sea U = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 }<br />
<br />
A= { 1, 3, 5, 7, 9 } donde A Ì U<br />
<br />
El complemento de A estará dado por:<br />
<br />
A'= { 2, 4, 6, 8 }<br />
<br />
<br />
DIFERENCIA<br />
Sean A y B dos conjuntos. La diferencia de A y B se denota por A-B y es el conjunto de los elementos de A que no están en B y se representa por comprehensión como:<br />
<br />
A - B={ x/x Î A ; X Ï B }<br />
<br />
Ejemplo:<br />
<br />
Sea A= { a, b, c, d } y<br />
<br />
B= { a, b, c, g, h, i }<br />
<br />
A - B= { d }<br />
<br />
En el ejemplo anterior se observa que solo interesan los elementos del conjunto A que no estén en B. Si la operación fuera B - A el resultado es <br />
<br />
B – A = { g, h, i } <br />
<br />
E indica los elementos que están en B y no en A.<br />
<br />
<br />
DIAGRAMAS DE VENN<br />
Los diagramas de Venn que de deben al filósofo inglés John Venn (1834-1883) sirven para encontrar relaciones entre conjuntos de manera gráfica mediante dibujos ó diagramas.<br />
<br />
La manera de representar el conjunto Universal es un rectángulo, ó bien la hoja de papel con que se trabaje.<br />
<br />
Un ejemplo de la representación del conjunto universal se muestra como:<br />
<br />
Los conjuntos se representan por medio de dibujos dentro del rectángulo, los aspectos de interés se resaltan sombreando las áreas respectivas. En el caso de este curso las indicaremos por medio de un color azul por ejemplo:Equipo de Derecho Mercantilhttp://www.blogger.com/profile/09944509771760487610noreply@blogger.com0